Exercícios Resolvidos de Função de Onda no Átomo de Hidrogênio

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Enunciado

( I ) Considere a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio ψ 1 s r , t = ψ 1 s r e - i E 1 t / ℏ   , onde

ψ 1 s r = 1 π a 0 3 e - r / a 0

e a 0 é o raio de Bohr. Para o átomo de H no estado fundamental calcule a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância menor do que o raio de Bohr.

Passo 1

A função de onda é tridimensional. Assim, para acharmos a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância menor do que o raio de Bohr, nós teríamos que integrar ela sobre uma esfera.

Pra facilitar, nós usamos a distribuição de probabilidade radial, que já tem dentro de si a integração em uma esfera, bastando então integrarmos no raio.

P r = ψ 2 ∙ 4 π r 2 = 1 π a 0 3 ∙ e - 2 r a 0 ∙ 4 π r 2

P r = 4 a 0 3 r 2 e - 2 r / a 0

Para a probabilidade de encontrar o elétron a uma distância menor que o raio de Bohr do núcleo:

p = ∫ 0 a 0 P r d r = ∫ 0 a 0 4 a 0 3 r 2 e - 2 r / a 0 d r  

Agora, pra resolver essa integral, tem duas coisas que podem facilitar nossa vida: Mudança de variáveis e integral por partes.

Passo 2

Fazendo a substituição x = r / a 0 , teremos:

x 2 = r 2 a 0 2 ;     d x = d r a 0

p = 4 ∫ 0 1 x 2 e - 2 x d x

Essa integral pode ser resolvida duas vezes por partes, nos dando:

∫ x 2 e - 2 x d x = - x 2 e - 2 x 2 + ∫ x e - 2 x d x

Fazendo a integral da direita por partes de novo:

∫ x e - 2 x d x = - x e - 2 x 2 + ∫ e - 2 x 2 d x = - x e - 2 x 2 + e - 2 x 4

Substituindo:

4 ∫ x 2 e - 2 x d x = 4 ∙ - x 2 e - 2 x 2 - x e - 2 x 2 - e - 2 x 4 = - e - 2 x ( 2 x 2 + 2 x + 1 )

Assim, aplicando os limites de integração:

p = - e - 2 2 ∙ 1 + 2 ∙ 1 + 1 + 1 = 1 - 5 e - 2

p = 1 - 5 e - 2 ≅ 0,33

Resposta

p = 1 - 5 e - 2 ≅ 0,33

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