Exercícios Resolvidos de Função de Onda no Átomo de Hidrogênio

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Enunciado

A função de onda do elétron no átomo de hidrogênio, no estado 1 s , é

ψ 100 r ,   θ ,   ϕ = C e - r / a 0 ,

onde a 0 é o raio de Bohr e C é uma constante real.

  1. Use a condição de normalização para determinar o valor de C .
  2. Para este estado, escreva a expressão da distribuição de probabilidade radial (densidade de probabilidade radial). Calcule o valor de r para o qual ela é máxima.
  3. Calcule a probabilidade de se encontrar o elétron a uma distância maior do que a 0 .

Passo 1

Letra a)

Invés de usar a função de onda, podemos usar a distribuição de probabilidade radial.

Assim:

∫ 0 ∞ ψ 2 ∙ 4 π r 2 d r = ∫ - ∞ ∞ 4 π C 2 e - 2 r / a 0 r 2 d r = 1

∫ 0 ∞ e - 2 r / a 0 r 2 d r = 1 4 π C 2

Para resolver essa integral, vamos primeiro fazer uma mudança de variáveis.

x = 2 r a 0   →       d x = 2 a 0 d r

∫ 0 ∞ e - x a 0 2 4 x 2 ∙ a 0 2   d x = 1 4 π C 2

∫ 0 ∞ e - x x 2   d x = 8 4 π a 0 3 C 2

Agora, essa integral pode ser resolvida por partes. Neste caso, essa integral fazia parte do formulário da prova, dando:

- e - x x 2 + 2 x + 2

Se x for diferente, de zero, podemos escrever:

- e - x x 2 + 2 x + 2 = - x 2 e x 1 + 2 x + 2 x 2

Quando x → ∞ , essa função vai dar zero, por causa da exponencial.

Quando x = 0 , essa função vai dar - 2 .

Assim:

0 - - 2 = 8 4 π a 0 3 C 2

C 2 = 1 π a 0 3

C = 1 π a 0 3

Passo 2

Letra b)

Como usado antes, a distribuição de propabilidade radial vai ser:

P r = ψ 2 ∙ 4 π r 2 = 4 π C 2 e - 2 r / a 0 r 2

Substituindo C 2 encontrando antes:

P r = 4 π π a 0 3 r 2 e - 2 r / a 0 = 4 a 0 3 r 2 e - 2 r / a 0

Para achar onde ela é máxima, precisamos derivá-la e igualar a zero:

d P r d r = 8 a 0 3 r e - 2 r / a 0 - 4 a 0 3 ∙ 2 a 0 r 2 e - 2 r / a 0

Em r m á x , teremos:

8 a 0 3 r e - 2 r / a 0 - 8 a 0 4 r 2 e - 2 r / a 0 = 0

8 a 0 4 r 2 = 8 a 0 3 r

r = a 0

Passo 3

Letra c)

O elétron ou está a uma distância maior que r = a 0 , ou está a uma distância menor.

Assim, se somarmos as duas probabilidades, teremos:

p r ≤ a 0 + p r ≥ a 0 = 1

Ao invés de calcular diretamente a probabilidade de encontrar a uma distância maior que r = a 0 , podemos calcular a probabilidade de encontrar a uma distância menor, e subtrair de 1.

Essa probabilidade vai ser:

p r ≤ a 0 = 4 a 0 3 ∫ 0 a 0 e - 2 r / a 0 r 2 d r

Mas já resolvemos essa integral antes! Vai ser:

a 0 3 8 ∙ - e - x x 2 + 2 x + 2

O termo em função de x , para zero, vai dar - 2 .

Quando r = a 0 , temos x = 2 , e substituindo, o termo em função de x vai dar

- e - 2 2 2 + 2 ∙ 2 + 2 = - 10 e - 2

Temos então:

4 a 0 3 ∙ a 0 3 8 ∙ - 10 e - 2 - - 2 = 1 2 ∙ 2 - 10 e - 2 = 1 - 5 e - 2

Para achar a probabilidade de o elétron estar a uma distância maior que a 0 , temos:

p r ≥ a 0 = 1 - p r ≤ a 0 = 1 - 1 + 5 e - 2 = 5 e - 2 ≅ 0,68

Resposta

Letra a)

C = 1 π a 0 3

Letra b)

r = a 0

Letra c)

p r ≥ a 0 = 5 e - 2 ≅ 0,68

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