Exercícios Resolvidos de Funções de Transferência

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Enunciado

Considere os sistemas de primeira a quarta ordem dados por:

G 1 = 1 s + 1

G 2 = 100 s 2 + 10 s + 100

G 3 = G 1 G 2

G 4 = 19,8 s + 20 s + 20 G 3

Plote em um mesmo gráfico as respostas ao degrau unitário de G 1 , G 2 , G 3 e G 4 e compare-as.

Passo 1

O exercício pede para plotarmos em um mesmo gráfico as resposta ao degrau unitário das funções de transferência G 1 , G 2 , G 3 e G 4 . Para isto, usaremos a função t f para criarmos as funções de transferência no MATLAB e, em seguida, usaremos a função s t e p , que plota a resposta ao degrau de uma função de transferência, para cada uma.

Passo 2

Primeiramente devemos criar G 1 , G 2 , G 3 e G 4 no MATLAB, usando a função t f , que tem como sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). Ambos os vetores vão do elemento com maior expoente ao de menor expoente.

t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Vamos começar com G 1 , cujo numerador é 1 . Já o denominador é o polinômio s + 1 . Em um novo script, vamos criar duas variáveis contendo os coeficientes dos polinômios de G 1 . A primeira variável representará os coeficientes do polinômio do numerador e será chamada de n u m _ G 1 . A segunda variável será um vetor chamado d e n _ G 1 e terá os coeficientes do polinômio do denominador. Após criar as duas variáveis de entrada de t f , digite o comando G 1 = t f ( n u m _ G 1 ,   d e n _ G 1 ) :

Desta forma, a função de transferência G 1 é criada e armazenada na variável G 1 . Podemos ver como G 1 ficou, rodando o programa e imprimindo-o no Command Window:

Faça o mesmo procedimento para G 2 :

A variável n u m _ G 2 contém o numerador de G 2 e o vetor d e n _ G 2 contém os coeficientes do polinômio do denominador de G 2 . A função de transferência G 2 é criada usando t f e é armazenada na variável G 2 . Vamos ver como ficou G 2 :

Passo 3

Para criar G 3 , adicione em seu script o comando:

Execute o programa e veja como ficou G 3 :

Para definir G 4 , vamos criar uma “função de transferência auxiliar”, chamada de H :

H = 19,8 s + 20 s + 20

Temos então que G 4 = H G 3 .

Vamos criar os vetores com os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador de H . Vamos chamá-los de n u m _ H e d e n _ H . Logo em seguida, vamos criar H usando a função t f :

Para calcular G 4 , adicione o comando:

Desta forma, G 4   tem essa cara:

Passo 4

Para plotar a resposta ao degrau unitário de G 1 , G 2 , G 3 e G 4 , usaremos o comando s t e p , que tem a sintaxe:

s t e p ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

A função s t e p plota o gráfico da resposta ao degrau unitário de f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a , que é uma função de transferência criada usando o comando t f .

Para termos a resposta ao degrau unitário de G 1 , G 2 , G 3 e G 4 , devemos incluir no nosso script os comandos s t e p ( G 1 ) , s t e p ( G 2 ) e assim por diante. Contudo, o enunciado pediu que plotássemos tudo no mesmo gráfico. Para fazermos isto, devemos incluir o comando h o l d   o n após o primeiro comando s t e p que digitarmos:

O comando h o l d   o n faz com que a curva que acabou de ser plotada não seja substituída pela próxima a ser plotada, de forma que elas apareçam juntas no gráfico.

O comando l e g e n d ( ' G _ 1 ' , ' G _ 2 ' , ' G _ 3 ' , ' G _ 4 ' ) serve para criar a legenda do gráfico, para sabermos qual é a resposta de cada função de transferência.

Execute o programa e você terá o gráfico com as respostas de G 1 , G 2 , G 3 e G 4 ao degrau unitário.

Resposta

A curva azul é a resposta de G 1 ao degrau unitário.

A curva vermelha é a resposta de G 2 .

A curva amarela é a resposta de G 3 .

A curva roxa é a resposta de G 4 .

As respostas de G 1 e G 3 são similares, enquanto as respostas de G 2 e G 4 são parecidas.