Exercícios Resolvidos de Funções de Transferência

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Enunciado

Uma suspensão automotiva é tipicamente passiva, sendo composta de molas e amortecedores. Para melhorar a suspensão de carros, sistemas de suspensão ativa têm sido propostos. Na figura abaixo, temos um modelo simplificado de uma suspensão automotiva ativa, no qual r ( t ) representa a entrada da superfície da estrada e y ( t ) é a posição vertical do compartimento dos passageiros.

Assuma que a massa do pneu é desprezível e que a velocidade é usada no controle da suspensão ativa. A função de transferência de velocidade da estrada r ( t ) à posição y ( t ) é:

G s = c + b s + k m s 2 + c + b s + k

Considere m = 5000   k g , k = 8 ∙ 10 5   N / m e b = 12000   N s / m . Plote a resposta ao degrau unitário do sistema com e sem controle ativo em um mesmo gráfico. Para considerar o controle ativo, use c = 1,14 ∙ 10 5 . Já para modelar o sistema sem o controle ativo, adote c = 0 .

Passo 1

O exercício nos dá a função de transferência G ( s ) e pede para encontrarmos sua resposta ao degrau unitário considerando dois valores diferentes de c , plotando as respostas em um mesmo gráfico.

Para isto, a função t f para criar G s e o comando s t e p para plotar o gráfico com a resposta ao degrau ficarão dentro de um laço f o r , que atualizará G ( s ) e o gráfico para cada valor de c .

Passo 2

O primeiro passo é digitar em um script novo os dados m = 5000   k g , k = 8 ∙ 10 5   N / m , b = 12000   N s / m e c = 1,14 ∙ 10 5 :

Note que chamei o valor de c para o modelo com suspensão ativa de c _ a t i v o .

Em seguida, crie um vetor c com dois elementos: os valores 0 e c _ a t i v o . Este vetor vai nos auxiliar a montar G ( s ) dentro do laço f o r :

Inicie um laço f o r , com variável de controle i , que vai de 0 a 1 :

Passo 3

Vamos entrar com G ( s ) dentro do laço f o r , escrevendo dentro dele o comando t f , que tem como sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Vamos criar dois vetores, dentro do laço f o r , contendo os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador de G ( s ) . O polinômio do numerador é c + b s + k e seus coeficientes serão armazenados em um vetor chamado n u m . Já o polinômio do denominador é m s 2 + c + b s + k e seus coeficientes serão armazenados em um vetor chamado d e n . Desta forma, o laço f o r tem essa cara por enquanto:

Logo abaixo dos vetores, já podemos incluir o comando G = t f ( n u m , d e n ) , para criar a variável G , que contém G ( s ) .

Note que em vez de eu usar simplesmente c , usei c ( i ) , indicando que na iteração i vou usar o elemento na posição i do vetor c . Logo, na primeira iteração, c 1 = 0 e estará sendo modelada a suspensão sem controle ativo. Na segunda iteração, c 2 = c _ a t i v o = 1,14 ∙ 10 5 , sendo modelada, portanto, a suspensão com controle ativo.

Em outras palavras, com o laço de repetição f o r , os vetores n u m e d e n serão atualizados a cada iteração com valores c ( i ) diferentes, gerando, portanto, uma função de transferência G diferente a cada iteração.

Passo 4

Para gerar o gráfico com as respostas ao degrau unitário da suspensão com e sem controle ativo, utilize dentro do laço f o r o comando s t e p , que tem a sintaxe:

s t e p ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a )

A função s t e p plota o gráfico da resposta ao degrau unitário de f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a , que é uma função de transferência criada usando o comando t f .

Logo, acrescente o comando s t e p ( G ) dentro do laço f o r :

Abaixo de s t e p ( G ) , inclua o comando h o l d   o n . Este comando serve para que o gráfico com a resposta ao degrau seja atualizado a cada iteração, mas sem que as curvas da iteração anterior desapareçam.

Pra finalizar, coloque logo abaixo do laço f o r o comando:

Ele fará com que o gráfico com as respostas ao degrau tenham uma legenda, indicando qual curva representa o resultado para a suspensão sem controle ativo e com controle ativo. As legendas dentro de l e g e n d devem estar na ordem com que os diagramas foram criados.

Execute o programa e você terá o gráfico pedido pelo enunciado.

Resposta

A resposta do sistema sem controle ativo é representada pela curva azul. Já a resposta do sistema com controle ativo é dada pela curva vermelha.