Exercícios Resolvidos de Funções de Transferência

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Enunciado

A função de transferência do sistema mecânico mostrado abaixo quando submetido a uma excitação x b ( t ) da base é:

G s = x m ( s ) x b ( s ) = 2 ξ ω n s + ω n 2 s 2 + 2 ξ ω n s + ω n 2

Considerando ξ = 0,1 e ω n = 4   r a d / s , encontre a resposta do sistema a uma excitação x b t = 2 s i n s i n   ( - 0,5 t )   , para 0 ≤ t ≤ 20 .

Passo 1

O exercício pede para gerarmos o gráfico da resposta de um sistema massa-mola-amortecedor com uma base cuja excitação é dada por uma função trigonométrica. Para isto, usaremos a função t f para criarmos G ( s ) no MATLAB e, em seguida, usaremos a função l s i m , que plota a resposta a uma entrada arbitrária de uma função de transferência.

Passo 2

Em um novo script, digite os parâmetros ξ = 0,1 e ω n = 4   r a d / s do sistema:

Tendo definido x i e o m e g a , podemos entrar com G ( s ) no MATLAB, por meio da função t f , que tem como sintaxe:

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

O polinômio do numerador de G ( s ) é 2 ξ ω n s + ω n 2 . Já o polinômio do denominador é s 2 + 2 ξ ω n s + ω n 2 .

Vamos criar dois vetores contendo os coeficientes dos polinômios. O primeiro vetor conterá os coeficientes do polinômio do numerador e será chamado de n u m . O segundo vetor se chamará d e n e terá os coeficientes do polinômio do denominador. Ambos os vetores vão do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Com os vetores de entrada de t f , inclua o comando abaixo para criar G ( s ) :

A função de transferência é armazenada na variável G . Confira se você digitou tudo certinho rodando o programa e pedindo ao MATLAB para imprimir G no Command Window:

Passo 3

Tendo definido G ( s ) no MATLAB, vamos ver qual é a resposta x m ( t ) do sistema à excitação x b t = 2 s i n s i n   ( - 0,5 t )   . Para isto, usaremos a função l s i m , que tem a sintaxe:

l s i m ( f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a , r , t )

Onde f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a é uma função de transferência criada com t f ; r é um vetor representando uma entrada arbitrária (pode ser qualquer expressão em função do tempo) para cada elemento do vetor t , que representa o tempo. O comando l s i m , com a sintaxe acima, gera o gráfico da resposta de f u n c a o _ t r a n s f e r e n c i a à entrada r .

No exercício, queremos ver qual é a resposta do sistema para a entrada x b ( t ) em função do tempo t , para 0 ≤ t ≤ 20 :

x b t = 2 s i n s i n   ( - 0,5 t )  

No nosso script, adicione os comandos:

Na primeira linha, criamos o vetor t : ele vai de 0 a   20 , com um passo de 0,01   s .

Na segunda linha, calculamos x b ( t ) para cada elemento de t e armazenamos o resultado no vetor x _ b .

Na terceira linha, usamos o comando o l s i m para a função de transferência G criada no passo anterior. Desta forma, teremos a resposta de G para a entrada x _ b .

Ao executar o programa, teremos o gráfico da resposta do sistema massa-mola-amortecedor x m ( t ) à excitação x b ( t ) .

Resposta

A excitação x b t = 2 s i n s i n   ( - 0,5 t )   é representada pela curva vermelha.

A resposta x m ( t ) é representada pela curva azul.