Exercícios Resolvidos de Funções de Transferência

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Enunciado

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F s = 8 ( s + 1 ) ( s + 3 ) s + 2 s + 4 s + 6 2

Plote a resposta ao degrau de amplitude 2 de F ( s ) .

Passo 1

O exercício pede para gerarmos o gráfico da resposta ao degrau de amplitude 2 para uma função de transferência F ( s ) . Para isto, usaremos a função t f para criarmos F ( s ) no MATLAB e, em seguida, usaremos a função s t e p , que plota a resposta ao degrau de uma função de transferência.

Como F ( s ) é em função de s e o enunciado não especifica mais nada, isso quer dizer que ela foi obtida por meio da transformada de Laplace a partir de funções no domínio de tempo contínuo.

Passo 2

Vamos relembrar a sintaxe da função t f :

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

Precisamos criar os vetores com os coeficientes dos polinômios, mas repare que o numerador e o denominador de F ( s ) estão fatorizados. Logo, precisamos expandi-los (isto é, multiplicar os termos) para termos uns polinômios bem bonitos para pegar os coeficientes.

Vamos fazer isso no MATLAB mesmo. Em um script, digite as linhas de código:

Na primeira linha, criamos uma variável simbólica s .

Na segunda linha, entramos com o numerador de F ( s ) , armazenando-o na variável n u m _ o r i g i n a l .

Na terceira linha, usamos o comando e x p a n d do MATLAB em n u m _ o r i g i n a l . Este comando multiplicará os termos de n u m _ o r i g i n a l e gerará o polinômio que precisamos, armazenando-o em n u m _ p o l .

Rodando o programa, temos:

Adicione ao seu script as duas linhas de código abaixo, para fazer exatamente a mesma coisa com o denominador de F ( s ) :

Na primeira linha, entramos com denominado de F ( s ) , armazenando-o em d e n _ o r i g i n a l . Em seguida, usamos e x p a n d em d e n _ o r i g i n a l para gerar o polinômio do denominador, armazenando-o em d e n _ p o l .

Rodando o programa, temos os polinômios do numerador e do denominador de F ( s ) :

Passo 3

Agora que conhecemos os polinômios do numerador e do denominador de F ( s ) , podemos criar os vetores que servirão de entrada para f t .

O polinômio do numerador é 8 s 2 + 32 s + 24 . Já o polinômio do denominador é s 4 + 18 s 3 + 116 s 2 + 312 s + 288 .

No nosso script, vamos criar dois vetores contendo os coeficientes dos polinômios. O primeiro vetor conterá os coeficientes do polinômio do numerador e será chamado de n u m . O segundo vetor se chamará d e n e terá os coeficientes do polinômio do denominador.

Ambos os vetores vão do elemento com maior expoente ( s 2 para o numerador e s 4 para o denominador) ao de menor expoente ( 24 para o numerador e 288 para o denominador, pois multiplicam s 0 = 1 ):

Em seguida, utilize a função t f para criar a função de transferência F ( s ) no MATLAB:

A função de transferência é armazenada na variável F , isto é, F é igual a F ( s ) .

Vamos ver a carinha dela? Rode o programa e você terá:

Passo 4

Agora que já entramos com F ( s ) no MATLAB, vamos ver qual é a resposta de F ( s ) a um degrau de amplitude 2 . Para isto, usaremos a função s t e p , que tem a sintaxe:

s t e p ( f u n ç ã o   d e   t r a n s f e r ê n c i a )

A função s t e p com a sintaxe acima plota o gráfico da resposta ao degrau unitário de f u n ç ã o   d e   t r a n s f e r ê n c i a , que é uma função de transferência criada usando o comando t f .

Se quiséssemos a resposta ao degrau unitário, bastaria incluir o comando s t e p ( F ) em nosso código. Contudo, queremos ver a resposta para um degrau de amplitude 2 . Por isso, devemos multiplicar F por 2 ao utilizarmos s t e p . Isto quer dizer que você deve adicionar no script o seguinte comando:

Ao rodar o programa, você terá o gráfico da resposta de F ( s ) a um degrau de amplitude 2 .

Resposta