Exercícios Resolvidos de Funções de Transferência

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Enunciado

Seja

X s = s + 1 s 2 + 2 s + 5

Plote a resposta de F ( s ) à entrada r ( t ) = e - 0.7 t .

Passo 1

O exercício pede para gerarmos o gráfico da resposta à entrada de uma função exponencial para uma função de transferência X ( s ) . Para isto, usaremos a função t f para criarmos X ( s ) no MATLAB e, em seguida, usaremos a função l s i m , que plota a resposta a uma entrada arbitrária de uma função de transferência.

Como X ( s ) é em função de s e o enunciado não especifica mais nada, isso quer dizer que ela foi obtida por meio da transformada de Laplace a partir de funções no domínio de tempo contínuo.

Passo 2

Primeiramente, vamos rever a sintaxe da função t f :

s i s t e m a = t f ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

A função t f tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por n u m e r a d o r ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por d e n o m i n a d o r ). t f retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em s i s t e m a .

O polinômio do numerador de X ( s ) é s + 1 . Já o polinômio do denominador é s 2 + 2 s + 5 .

Em um novo script, vamos criar dois vetores contendo os coeficientes dos polinômios. O primeiro vetor conterá os coeficientes do polinômio do numerador e será chamado de n u m . O segundo vetor se chamará d e n e terá os coeficientes do polinômio do denominador.

Ambos os vetores vão do elemento com maior expoente ( s para o numerador e s 2 para o denominador) ao de menor expoente ( 1 para o numerador e 5 para o denominador, pois multiplicam s 0 = 1 ):

Tendo criado os vetores de entrada de t f , podemos incluir o comando abaixo para criar a função de transferência X ( s ) :

A função de transferência é armazenada na variável X , isto é, X é igual a X ( s ) . Podemos conferir isso rodando o programa e pedindo ao MATLAB para imprimir X no Command Window:

Passo 3

Agora que já entramos com X ( s ) no MATLAB, vamos ver qual é a resposta de X ( s ) à entrada r ( t ) = e - 0.7 t . Para isto, usaremos a função l s i m , que tem a sintaxe:

l s i m ( f u n ç ã o   d e   t r a n s f e r ê n c i a , r , t )

Onde f u n ç ã o   d e   t r a n s f e r ê n c i a é uma função de transferência criada com t f ; r é um vetor representando uma entrada arbitrária (pode ser qualquer expressão em função do tempo) para cada elemento do vetor t , que representa o tempo. O comando l s i m , com a sintaxe acima, gera o gráfico da resposta à entrada r quando rodamos o programa.

No exercício, queremos ver qual é a resposta para a entrada r ( t ) em função do tempo t :

r t = e - 0,7 t

No nosso script, adicione os comandos:

Na primeira linha, criamos o vetor t : ele vai de 0 a   20 , com um passo de 0,01   s .

Na segunda linha, calculamos r ( t ) para cada elemento de t e armazenamos o resultado no vetor r .

Na terceira linha, usamos o comando o l s i m para a função de transferência X criada no passo anterior.

Ao executar o programa, você terá o gráfico da resposta de X ( s ) a r ( t ) .

Resposta

A entrada r ( t ) = e - 0.7 t é representada pela curva vermelha.

A resposta de X ( s ) a r ( t ) é representada pela curva azul.