Exercícios Resolvidos de Hidrociclones

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Enunciado

Uma bateria de hidrociclones Bradley, de 6   c m de diâmetro, é utilizada para tratar 50   m 3 / h de uma suspensão aquosa, a 1 % em volume de C a C O 3 . Calcular:

  1. O número de hidrociclones necessários
  2. A eficiência total de separação
  3. A concentração volumétrica no underflow

Dados:

∆ P = 50   p s i ; ρ s = 2,8   g / c m 3 ; D u = 0,8   c m ; T = 20 ℃

Distribuição granulométrica do material particulado na alimentação:

Passo 1

Temos hidrociclones com D C , D u e ∆ P especificados; ele está todo amarrado e a vazão que passa por um desses hidrociclones está amarrada também! Como precisa tratar uma vazão Q T = 50   m 3 / h , vamos ter que calcular o número de hidrociclones necessários.

Para o cálculo da eficiência total de separação, vamos ter que primeiro calcular d 50 ' , aí jogá-lo na expressão de G ' ; como vou usar equação de Rosin-Rammler-Bennett modificada (RRB):

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 d d 50 ' 3

Depois, achamos E T ' por meio de:

E T ' = ∫ 0 1 G ' . d y

Lembrando que colocar d em função de y na expressão de G ' ; para tal, vamos precisar de uma expressão para y em função de d , que podemos achar pela tabela que ele deu com pares d   e   y . Vamos ter que usar os y em base unitária.

E, como o enunciado pede eficiência total e não eficiência total reduzida, calculamos E T usando:

E T ' = E T - R f 1 - R f  

Já para o cálculo da concentração do underflow, vamos ter que calcular a quantidade de partículas que sai no underflow e a quantidade de fluido que sai no underflow; depois é só aplicar a definição de C v .

Ah! Repara que o enunciado não deu ρ   e   μ para o fluido, mas disse que é água a 20 ℃ então podemos ir atrás de informação tabelada:

ρ = 1 g c m 3   e   μ = 1,002   c P = 1,002 . 10 - 2   P

Já passei a viscosidade pra Poise porque vou escolher trabalhar no CGS.

Passo 2

a) Em hidrociclones, trabalhamos majoritariamente com S t k 50 E u , E u e R f , e ficamos variando entre as definições e as correlações. Vou escrever aqui embaixo as duas formas (genéricas) de cada um deles (definição e correlação), para quando o hidrociclone é de alguma família:

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = k 1 ln ⁡ 1 R f n 1 exp ⁡ n 2 C v

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = k 2 R e n 3 exp ⁡ ( n 4 C v )

R f = Q u ( 1 - C v u ) Q ( 1 - C v ) = k 3 D u D C n 5 E u n 6

A primeira coisa que vamos calcular é a vazão Q passando pelo nosso hidrocilone. Não vou usar S t k 50 E u porque não tenho nem d 50 ' pra usar a definição e nem R f pra usar a correlação. Não vou usar R f porque não tenho Q u pra usar a definição e nem E u pra usar a correlação. Daí sobra usar E u . Reescrevendo essa segunda linha, já com cos parâmetros corretos:

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = 258,0 . R e 0,37 exp ⁡ 0 . C v = 258,0 . R e 0,37

Precisamos calcular Reynolds:

R e = 4 ρ Q π μ D C = 4 . 1 . Q π . 1,002 . 10 - 2 . 6 = 21,18 . Q

Q é o que a gente quer calcular então deixei em função dele. Daí, substituindo tudo que temos:

π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = 258,0 . R e 0,37

π 2 . 50 . 68948 . 6 4 8 . 1 . Q 2 = 258,0 . ( 21,18 . Q ) 0,37

Repara que converti o ∆ P de p s i para d i n a / c m 2 , já que estamos trabalhando com o CGS. Calculando:

Q = 768,9   c m 3 / s

Mas temos que tratar Q T = 50   m 3 / h . Não posso comparar gatos com peixes; preciso ter os dois nas mesmas unidades pra comparar.

Q T = 50 m 3 h . 10 6   c m 3 1   m 3 . 1   h 3600   s = 13888,9   c m 3 / s

Precisamos de N hidrociclones tratando uma vazão Q para ter o tratamento da vazão total Q T :

Q T = N . Q

13888,9 = N . 768,9  

N = 18   h i d r o c i c l o n e s

Passo 3

b) A eficiência total de separação

Vamos usar   G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 d d 50 ' 3 , mas precisamos de d 50 ' primeiro. Vamos ter que usar S t k 50 E u , que é onde ele aparece.

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = k 1 ln ⁡ 1 R f n 1 exp ⁡ n 2 C v

A definição tem o d 50 ' ; preciso calcular o S t k 50 E u pela correlação e depois igualar esse valor a definição pra tirar o d 50 ' , mas antes preciso calcular o R f . Usando a correlação, como os parâmetros do Bradley:

R f = 1,21 . 10 6 . D u D C 2,63 E u - 1,12

Opa! E quanto vale Euler? Vamos ter que calcular!

Podemos ir pela definição mesmo porque já sabemos tudo dela:

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = π 2 . 50 . 68948 . 6 4 8 . 1 . 768,9   2 = 9320

Voltando a R f :

R f = 1,21 . 10 6 . 0,8 6 2,63 9320 - 1,12 = 0,22

Voltando para correlação de S t k 50 E u e já substituindo os parâmetros e valores conhecidos:

S t k 50 E u = 0,0550 . ln ⁡ 1 0,22 0,66 exp ⁡ 12 . 0,01 = 0,0815

Relacionando com a definição:

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = 0,0815

π 3 - 1 . 50 . 68948 . 6 . d 50 ' 36   .   1,002 . 10 - 2   .   1 . 768,9 = 0,0815

d 50 ' = 4,17 . 10 - 4 c m = 4,17   μ m

Passo 4

Já podemos escrever

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 d 4,17 3

Mas para resolver E T ' = ∫ 0 1 G ' * d y , precisamos colocar d em função de y ; antes, precisamos da curva y . Como o enunciado não pediu um modelo específico, vou usar o GGS para ajustar os dados:

Lembrando, o modelo GGS tem a cara:

y = d k m

A forma linear fica:

ln ⁡ y = m . ln ⁡ d - m . ln ⁡ k

Fazendo regressão linear dos pares ln ⁡ y   v e r s u s ln ⁡ d , para achar os parâmetros m   e   k , obtive:

Y = 0,987 . X - 3,574       c o m   R 2 = 0,975

Daí:

m = 0,987

- m . ln ⁡ k = - 3,574

ln ⁡ k = 3,62

k = 37,34

Então:

y = d 37,34 0,987

Para isolar d , primeiro elevamos os dois lados a 1 0,987 , que dá no mesmo que 1,01 .

y 1,01 = d 37,34

d = 37,33 . y 1,01

Substituindo na expressão de G ' :

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 37,33 . y 1,01 4,17 3

Agora sim podemos integrar:

E T ' = ∫ 0 1 G ' . d y = ∫ 0 1 1 - exp ⁡ - 0,693 37,33 . y 1,01 4,17 3 . d y = 0,955

Como é pedida a eficiência total E T e não a eficiência total reduzida ( E T ' ) :

E T ' = E T - R f 1 - R f  

0,955 = E T - 0,22 1 - 0,22  

E T = 0,965   o u   96,5 %

Passo 5

c) A concentração volumétrica no underflow

Pensa comigo: concentração volumétrica é volume de partículas dividido por volume de suspensão, certo? Sendo que volume de suspensão é a soma do volume de partículas e volume de fluido.

C v = v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s + v o l u m e   d e   f l u i d o

Vou adotar como base de cálculo 1   s e g u n d o . A gente calculou que a vazão em um hidrociclone é Q = 768,9   c m 3 / s então, em 1   s e g u n d o , estamos falando de um volume de suspensão 768,9   c m 3 . Na entrada, C v = 1 % , então 1 % desse volume são partículas e o resto é fluido.

V p a r t í c u l a s = 7,689   c m 3     e   V f l u i d o = 761,211   c m 3

Agora, vamos por partes:

Sabemos que E T =   96,5 % daí 96,5 %   desse volume de partículas foi recuperado, ou seja:

V p     r e c u p e r a d o = 0,965   .   7,689 = 7,41   c m 3

R f = 0,22 significa que 22 % do fluido alimentado sai no concentrado. Daí, junto com V p     r e c u p e r a d o = 7,41   c m 3 , sai:

V f     n o   c o n c e n t r a d o = 0,22   .   7 61,211 = 167,47   c m 3  

Calculando C v u :

C v u = v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s v o l u m e   d e   p a r t í c u l a s + v o l u m e   d e   f l u i d o = 7,41 7,41 + 167,47   = 0,0424 = 4,24 %

Resposta

  1. N = 18
  2. E T = 0,965   o u   96,5 %
  3. C v u = 4,24 %