Exercícios Resolvidos de Hidrociclones

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Enunciado

Uma indústria química utiliza um hidrociclone para tratar 100   m 3 / h de uma suspensão aquosa, a 10 % em volume de C a C O 3 . Determine a eficiência de separação.

Dados:

∆ P = 50   p s i , ρ s = 2,8   g / c m 3 , ρ = 1   g / c m 3 , μ = 1   c P

y = 1 - exp ⁡ - d 150 1,5   c o m   d   e m   μ

Configuração do hidrociclone:

Passo 1

Temos que determinar a eficiência de separação E T obtida usando esse hidrociclone aí. Antes de qualquer coisa, temos que saber qual é a família desse hidrociclone pra saber quais equações e parâmetros usar. Lá na teoria, eu coloquei uma tabelinha com as proporções geométricas em cada uma das famílias. Vamos calcular para esse hidrociclone aí e ver se ele se encaixa em alguma família.

Calculando D i D C :

D i D C = 0,07 0,4 = 0,175

Opa! Já sabemos que esse hidrocilone não tem família; ele é um hidrociclone qualquer então temos que usar as equações pra um hidrociclone qualquer.

E, para chegar na eficiência total de coleta: temos como, pelas equações, calcular d 50 ' ; como sabemos a expressão de G ' em função de d   e   d 50 ' (vou usar a equação de Rosin-Rammler-Bennett modificada), teremos a expressão de G ' “completa”. Depois, calculamos E T ' e depois E T .

Ah! Vou adotar o CGS então já vou listar os dados convertendo-os para o CGS, caso necessário:

Q = 100 m 3 h = 1 h 3600   s . 10 6   c m 3 1   m 3 = 27777,8   c m 3 / s

C v = 10 % = 0,1

∆ P = 50   p s i . 6895 N m 2 1   p s i . 10 d i n a c m 2 1   N m 2 = 3,45 . 10 6 d i n a c m 2

ρ s = 2,8   g / c m 3

ρ = 1   g / c m 3

μ = 1   c P = 1 . 10 - 2 P

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos ter que calcular o diâmetro de corte reduzido, d 50 ' . Em hidrociclones, trabalhamos majoritariamente com S t k 50 E u , E u e R f , e ficamos variando entre as definições e as correlações. Vou escrever aqui embaixo as duas formas (genéricas) de cada um deles (definição e correlação):

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = 0,12 D C D o 0,95 D C L - l 1,33 ln ⁡ 1 R f 0,79 exp ⁡ 12 C v

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = 21,8 D C 0,57 D C D i 2,61 D C D o 2 + D u 2 0,42 D C L - l 0,98 R e 0,12 exp ⁡ ( - 0,51 C v )

R f = Q u ( 1 - C v u ) Q ( 1 - C v ) = 1,18 D C D o 5,97 D u D C 3,10 E u - 0,54

Repara que a expressão que envolve d 50 ' é a definição de S t k 50 E u ; daí podemos calcular S t k 50 E u pela correlação (termo da direita) e depois relacionar com a definição. Mas, antes disso, preciso de R f ; como não tenho Q u , tenho que calcular R f pela correlação e, para isso, preciso de E u . Daí a primeira coisa que vou calcular é E u , certo? Tenho tudo da definição então é ela que vou usar:

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = π 2 . 3,45 . 10 6 . ( 40 ) 4 8 . 1 . ( 27777,8 ) 2 = 14121,25

Repara que eu lancei o D C em centímetros.

Calculando R f :

R f = 1,18 D C D o 5,97 D u D C 3,10 E u - 0,54 = 1,18 40 10 5,97 5 40 3,10 ( 14121,25 ) - 0,54 = 0,042

Calculando S t k 50 E u pela correlação:

S t k 50 E u = 0,12 D C D o 0,95 D C L - l 1,33 ln ⁡ 1 R f 0,79 exp ⁡ 12 C v = 0,12 40 10 0,95 40 [ 100 - 30 ] - 25 1,33 ln ⁡ 1 0,042 0,79 exp ⁡ 12 * 0,1 = 1,757

Relacionando S t k 50 E u com a definição:

S t k 50 E u = 1,757 = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q

Substituindo os valores:

d 50 ' = 47,75 * 10 - 4 c m = 47,75   μ m

Passo 3

Vamos usar, para a expressão da eficiência granulométrica, a equação de Rosin-Rammler-Bennett modificada:

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 d d 50 ' n

Com n = 3 para hidrociclones

Já sabemos o valor de d 50 ' e de n . A questão é que para encontrarmos o valor da eficiência global reduzida E T ' , vamos ter que integrar em y :

E T ' = ∫ 0 1 G ' . d y

Daí, precisamos de uma expressão para d em função de y . Vamos obtê-la da curva y   v e r s u s   d que o enunciado deu:

y = 1 - exp ⁡ - d 150 1,5  

exp ⁡ - d 150 1,5 = 1 - y

Aplicando l n dos dois lados:

d 150 1,5 = - ln ⁡ ( 1 - y )

d = 150 [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5

Substituindo isso na equação de G ' :

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 150 [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,5 47,75 3

Agora, integramos na calculadora:

E T ' = ∫ 0 1 G ' . d y = 0,8314

Mas o enunciado pede eficiência global ( E T ) e não a eficiência global reduzida ( E T ' ) ; sabemos que:

E T ' = E T - R f 1 - R f  

Daí:

0,8314 = E T - 0,042 1 - 0,042

E T = 0,8385   o u   83,35 %

Só uma análise do resultado: faz sentido E T > E T ' ? Sim ! A vazão associada com a razão de fluido é como se tivesse 100 % de coleta, já que ela carrega partículas com a mesma distribuição original e isso faz com que a eficiência global do separador aumente.

Resposta

E T = 0,8385   o u   83,35 %