Exercícios Resolvidos de Hidrociclones

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Enunciado

Devido a alterações ocorridas em um processo utilizado por uma indústria, um hidrociclone Rietma de 9,0   c m de diâmetro terá suas variáveis operacionais modificadas para ∆ P = 30   p s i , C v = 9 % , D u = 2,4   c m . Sabendo que a distribuição granulométrica do material particulado na alimentação é d = 14 . [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,2 . Pede-se calcular a vazão de operação e a eficiência total, sabendo-se que ρ S = 2,5   g / c m 3 e que o fluido de operação é a água com as seguintes propriedades: ρ = 1   g / c m 3 e μ = 1   c P .

Passo 1

Esse enunciado foi bem bonzinho com a gente: já deu d em função de y (pra quando a gente for integrar em d y ) e já deu as propriedades físicas do fluido de cara haha Mas bora ver o que ele quer.

Temos um hidrociclone Rietma com algumas especificações: D C = 9,0   c m , ∆ P = 30   p s i , D u = 2,4   c m ; sabemos, também, que a concentração na entrada é C v = 9 % .

Sabemos, também, que ρ S = 2,5   g / c m 3 , ρ = 1   g / c m 3 e μ = 1   c P = 1 . 10 - 2   P .

Vamos ter que calcular a vazão de operação Q e a eficiência total de separação ( E T ) ; pra isso é só aplicar fórmula porque tá tudo amarradinho.

Passo 2

Em hidrociclones, trabalhamos majoritariamente com S t k 50 E u , E u e R f , e ficamos variando entre as definições e as correlações. Vou escrever aqui embaixo as duas formas (genéricas) de cada um deles (definição e correlação), para quando o hidrociclone é de alguma família:

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = k 1 ln ⁡ 1 R f n 1 exp ⁡ n 2 C v

E u = π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = k 2 R e n 3 exp ⁡ ( n 4 C v )

R f = Q u ( 1 - C v u ) Q ( 1 - C v ) = k 3 D u D C n 5 E u n 6

A primeira coisa que vou calcular é a vazão Q logo. Eu não tenho d 50 ' e nem R f , então não vou pensar em usar as expressões de S t k 50 E u pra isso. Também não tenho Q u ou E u pra pensar em usar a linha do R f . Sobra usar as expressões para E u .

π 2   ∆ P D C 4 8 ρ Q 2 = k 2 R e n 3 exp ⁡ ( n 4 C v )

Como não tenho o valor de R e , vou escrevê-lo em função de Q :

R e = 4 ρ Q π μ D C = 4 . 1 . Q π . 1,0 . 10 - 2 . 9

Ah! Vou precisar passar ∆ P para o CGS antes de jogar na fórmula, já que escolhi trabalhar no CGS.

∆ P = 30   p s i . 68950 d i n a c m 2 1   p s i = 2,07 . 10 6 d i n a / c m 2

Voltando para as expressões pra E u , já com os parâmetros da correlação para o Rietma:

π 2 . 2,07 . 10 6 . 9 4 8 . 1 . Q 2 = 371,5 . 4 . 1 . Q π . 1,0 . 10 - 2 . 9 0,12 exp ⁡ ( - 2,12 . 0,09 )

Q = 3915,8   c m 3 / s  

Passo 3

O enunciado também pediu pra gente calcular a eficiência total E T , mas pra chegar lá ainda temos um caminho pra percorrer haha Olha só: o que temos pra começar a calcular a eficiência é a equação de RRB modificada:

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 d d 50 ' 3

Tendo a expressão completinha de G ' e com d em função de y , podemos integrar e calcular E T ' :

E T ' = ∫ 0 1 G ' d y

Como o que queremos é E T , vamos usar:

E T ' = E T - R f 1 - R f  

Massss, não temos a expressão de RRB “completinha”; falta achar o d 50 ' . Pra isso, vamos pelo S t k 50 E u :

S t k 50 E u = π ρ S - ρ ∆ P D C d 50 ' 36 μ ρ Q = k 1 ln ⁡ 1 R f n 1 exp ⁡ n 2 C v

Como não temos o valor de S t k 50 E u e nem o de d 50 ' , temos que calcular o valor de S t k 50 E u pela correlação (termo da direita); pra isso, preciso de R f :

R f = Q u ( 1 - C v u ) Q ( 1 - C v ) = k 3 D u D C n 5 E u n 6

Não tenho Q u , então tenho que usar a correlação (termo da direita); para isso, preciso calcular E u . Vou pela definição mesmo, já que sei tudo:

E u = π 2 . 2,07 . 10 6 . 9 4 8 . 1 . 3915,8 2 = 1092,7

Calculando R f pela correlação, já com os parâmetros adequados:

R f = 1218 . 2,4 9 4,75 1092,7 - 0,30 = 0,28

Voltando pra S t k 50 E u , já com os parâmetros adequados:

S t k 50 E u = 0,0474 . ln ⁡ 1 0,28 0,74 exp ⁡ 9,0 . 0,09 = 0,127

Igualando esse valor com a definição de S t k 50 E u , encontramos d 50 ' :

0,127 = π . 2,5 - 1 . 2,07 . 10 6 . 9 . d 50 ' 36 . 1,0 . 10 - 2 . 1 . 3915,8

d 50 ' = 1,43 . 10 - 3 c m = 14,3   μ m

Passo 4

Agora que temos d 50 ' , podemos escrever a expressão de G ' completinha. Já com o d em função de y (foi dado):

G ' = 1 - exp ⁡ - 0,693 14 . [ - ln ⁡ 1 - y ] 1 1,2 14,3 3

Fazendo, na calculadora a integral:

E T ' = ∫ 0 1 G ' d y = 0,384

Como queremos E T :

E T ' = E T - R f 1 - R f  

0,384 = E T - 0,28 1 - 0,28  

E T = 0,56   o u   56 %

Resposta

E T = 0,56   o u   56 %