Exercícios Resolvidos de Instalações contendo meios porosos

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Enunciado

Calcule a velocidade superficial de água ( ρ = 1 g / c m 3   e μ = 1,0   c P ) que passa através do meio poroso abaixo, sabendo-se que este leito foi constituído por 190   k g de areia ( ρ = 2700   k g / m 3   e   Φ = 0,7 ) com diâmetro de 150   μ m . Admitir que o escoamento é darcyano.

Dados:

  • Diâmetro do leito: 0,4   m
  • L = 1   m
  • P 0 = 3   b a r
  • P L = 2   b a r

Passo 1

Essa é uma instalação bem simples: só tem o meio poroso.

Então, vamos começar caracterizando esse meio poroso, calculando ε e k :

Para a porosidade:

ε = V o l u m e   d e   v a z i o V o l u m e   t o t a l = V o l u m e   t o t a l - V o l u m e   d e   s ó l i d o V o l u m e   t o t a l

V s ó l i d o = m p a r t í c u l a s ρ s = 190   k g 2700   k g / m 3 = 0,07   m 3   d e   a r e i a

V t o t a l = π D 2 4 . L = π ( 0,4 ) 2 4 . 1 = 0,126   m 3

Repara que usamos o SI e é fundamental que as unidades sejam iguais, para que a porosidade seja admensional!

ε = 0,126   m 3 - 0,07   m 3 0,126   m 3 = 0,44

Agora, bora calcular a permeabilidade do meio poroso ( K ) :

K = Φ d - 2 ε 3 36 β 1 - ε 2

Considerando que a areia possa ser aproximada por grãos, podemos usar β = 5 . Daí:

K = 0,7 . 150 . 10 - 6 2 . 0,44 3 36   .   5   .   1 - 0,44 2 = 1,66 . 10 - 11   m 2

Repara que a gente usou o diâmetro da partícula em metros, pra trabalhar no SI. A unidade que você usar no diâmetro vai definir a unidade do K , já que as outras variáveis usadas são adimensionais.

Depois de achar os parâmetros do nosso meio poroso, podemos olhar pra geometria do problema e aplicar a equação de Bernoulli, já que o fluido é incompressível.

Passo 2

Aplicando a equação de Bernoulli:

P 2 - P 1 ρ g + u 2 2 - u 1 2 2 g + Z 2 - Z 1 = W B - h L

Agora bora simplificar a equação, adotando o ponto 1 como a entrada e 2 como a saída:

  • Podemos escrever a vazão como Q = Á r e a . u ; como vazão e área são constantes, u é constante daí u 1 = u 2
  • Z 2 - Z 1 = L
  • Não há bomba, daí W B = z e r o
  • P 2 - P 1 = P L - P 0
  • h L = M L / ρ g , conforme vimos na teoria

Então a nossa equação simplificada ficou:

P L - P 0 ρ g + L = - M L ρ g

P L - P 0 + L ρ g = - M L

Adotando o SI:

2 - 3 . 10 5 P a + 1 m   .   1000 k g m 3   .   9,81 m s 2 = - M . 1 m

Daí:

M = 90.190   N / m 3

Como o escoamento é lento, vale a lei de Darcy:

M = μ K q

Ainda no SI:

90.190 = ( 1,0 . 10 - 3   P a . s ) 1,66 . 10 - 11 . q

q = 0,00 15 m s

Resposta

q = 0,00 15 m s