Exercícios Resolvidos de Instalações contendo meios porosos

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Enunciado

Simplifique a equação do movimento para achar uma expressão para a queda de pressão no meio poroso em cada um dos casos abaixo:

  1. Escoamento contra a gravidade
  2. Escoamento perpendicular à gravidade

Despreze o termo d i v   τ ̿ da equação do movimento!

Passo 1

Nessa questão vamos ter que manipular a equação do movimento pra achar uma expressão pro ∆ P em cada um dos meios porosos apresentados. Temos o caso de uma instalação que apenas tem o meio poroso, daí a única perda que carga com a qual teremos que nos preocupar é o h L M P   .

Vamos ter que usar a equação do movimento então bora logo lembrar dela:

ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P + d i v   τ ̿ - M → + ρ g →

Ah, o enunciado pede pra desprezar o termo d i v   τ ̿ da equação do movimento, então vou tirá-lo logo.

ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P - M → + ρ g →

Ignorá-lo é uma boa aproximação... ele fica pequeno face aos outros termos.

Agora, indo pra parte que diferencia os dois casos: no primeiro caso vamos estar interessados na componente z do movimento, pois é nela que o movimento se concentra, exclusivamente. Como a gravidade também se encontra nesse eixo, ela vai aparecer no equacionamento.

Já no segundo caso, o movimento é no eixo x ; como a gravidade NÃO está presente nesse eixo, ela NÃO aparecerá no equacionamento, ou melhor, terá valor zero. Daí o termo ρ g → será nulo.

Passo 2

  1. Escoamento contra a gravidade
  2. Voltando à equação do movimento, já desprezando d i v   τ ̿ :

    ρ ε ∂ ∂ t q → ε + g r a d   q → ε q → = - g r a d   P - M → + ρ g →

    Antes de continuar, mais uma simplificação: NÃO nos foram informadas variações no tempo e nem variações do espaço, daí, vamos usar as hipóteses de estado estacionário e meio isotrópico. Razoável, né?

    0 → = - g r a d   P - M → + ρ g →

    Só há movimento no eixo z, daí vamos escrever apenas a componente dos vetores para esse eixo.

    - d P d z - M - ρ g = 0

    Podemos isolar o termo com d P nessa equação:

    - d P d z = M + ρ g

    Jogando o d z pra direita e integrando de L = 0 até L (repara que eu disse que o zero do meu eixo z é onde começa o meio poroso):

    P 0 - P L = M L + ρ g L        

    Passo 3

  3. Escoamento perpendicular à gravidade

Novamente, vou usar as hipóteses de estado estacionário e meio isotrópico.

0 → = - g r a d   P - M → + ρ g →

O lance é que, agora, o movimento ocorre exclusivamente ao longo do eixo x. Daí vamos escrever as componentes dos vetores apenas para esse eixo. E, como já adiantei no passo 1, a componente da gravidade nesse eixo é ZERO. Daí:

0 = - d P d x - M + ( ρ * 0 )

0 = - d P d x - M

Isolando o d P :

- d P d x = M

- d P = M * d x

Integrando, em x, de 0 a L :

P 0 - P L = M L

Resposta

  1. P 0 - P L = M L + ρ g L    
  2. P 0 - P L = M L