Exercícios Resolvidos de Instalações contendo meios porosos

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Enunciado

Estimar a capacidade, em m 3 / ( m 2 . h ) , do filtro de areia abaixo esquematizado operando com água a 20 ℃ . A primeira camada, com porosidade 0,37 , é constituída de areia com a seguinte granulometria:

A segunda camada, como porosidade 0,43 , é constituída de brita com partículas de 1,3   c m de diâmetro. As esfericidades da areia e da brita podem ser consideradas como 0,7 .

Observação: o filtro é aberto pra atmosfera tanto na entrada como na saída!

Passo 1

Vou usar subscrito a para areia, b para brita e chamar a água de água mesmo haha.

O enunciado dá um filtro com três camadas e pede pra calcularmos a capacidade, em m 3 / ( m 2 . h ) , isto é, temos que calcular q .

Algo importante é que sabemos (o enunciado diz) que o filtro é aberto pra atmosfera tanto na entrada como na saída, ou seja:

P e n t r a d a = P s a í d a = P a t m

Passo 2

Considerando o eixo z no mesmo sentido da velocidade q , a equação do movimento fica:

- d P d z - M + ρ g = 0

Passando - d P d z para o outro lado,

d P d z = ρ g - M

Primeiro de tudo, vamos considerar que não há perda de carga ao passar pela camada de água; isso é razoável e, de qualquer maneira, nem teríamos como estimar essa perda. Depois, vamos avaliar essa equação em cada um dos trechos.

  • Para a areia:
  • ∫ P 1 P 2 d P = ( ρ g - M a ) ∫ h 1 h 2 d z

    Em que:

    h 1 = h á g u a h 2 = h á g u a + h a r e i a

    Resolvendo a integral, temos:

    P 2 - P 1 = ( ρ g - M a ) . h 2 - h 1

    P 2 - P 1 = ρ g . h 2 - h 1 - M a . h 2 - h 1   e q u a ç ã o   1

    Como,

    h 1 = h á g u a h 2 = h á g u a + h a r e i a

    Substituindo isso em h 2 - h 1 , temos:

    ( h á g u a + h a r e i a ) - h á g u a

    O que nos dá h a r e i a ! Para simplificar, vou chamar de h a .

    Substituindo na equação 1, temos:

    P 2 - P 1 = ρ g h a - M a h a  

  • Para a brita:
  • ∫ P 2 P 3 d P = ( ρ g - M b ) ∫ h 2 h 3 d z

    Sendo,

    h 2 = h á g u a + h a r e i a h 3 = h á g u a + h a r e i a + h b r i t a

    E de forma semelhante, chegamos em:

    P 3 - P 2 = ρ g h b - M b h b     e q u a ç ã o   2

    Chamei h b r i t a de h b para simplificar!

    Somando as equações 1   e   2 , eliminamos o “intermediário”, que é P 2 :

    P 3 - P 1 = ρ g h a + h b - M a h a - M b h b

    Acontece que p filtro é aberto pra atmosfera na saída, daí:

    P 3 = P a t m o s f é r i c a

    E, como desconsideramos perda de carga na camada de água, é como se fosse fluido estático, daí:

    P 1 ≈ P a t m o s f é r i c a + ρ g h á g u a

    Daí:

    - ρ g h á g u a = ρ g . h a + h b - M a h a - M b h b

    Guarda isso por enquanto, ok?

    Passo 3

    Precisamos das expressões do M . Como enunciado NÃO fala que escoamento é lento, usamos Forchheimer:

    M → = μ K 1 + C K ρ q → μ q →

    Epa! Não temos C   e   K ; temos que determiná-los. Como não temos experimentos, usamos as correlações.

    Para K :

    K = Φ d - 2 ε 3 36 β 1 - ε 2

  • Para areia:
  • K a = [ 0,7 . ( 7,143 . 10 - 2 ] 2 0,37 3 36.5 . 1 - 0,37 2 = 1,77 . 10 - 6   c m 2

    Repara que d - = 7,143 . 10 - 2 é o diâmetro médio de Sauter e foi calculado com os dados daquela tabelinha que o enunciado deu.

  • Para a brita:

K b = 0,7 . 1,3 2 0,43 3 36.5 . 1 - 0,43 2 = 0,0011   c m 2  

Para calcular C , usamos a correlação de Santana e Massarani:

C = 0,13 . K 0 K 0,37 + 0,10 K 0 K 0,01 0,98 ε - 3 2  

Em que K 0 = 1 . 10 - 6   c m 2 e essa correlação é válida para valores de K entre:

K   ϵ   1 , 10 - 9   ,   1 . 10 - 3   c m 2

Daí:

C a = 0,9410     e       C b = 0,4042

Substituindo os K   e   C nas expressões de M e substituindo essas na equação que pedi pra você guardar:

ρ g h á g u a = C a h a K a + C b h b K b . ρ q 2 + h a K a + h b K b . μ q - ρ g . h a + h b

Resolvendo a equação de segundo grau gerada:

q = 0,41   c m / s     o u     q = - 8,4   c m / s

A segunda opção NÃO tem sentido físico. Sabemos que o fluido tem que descer, por causa da gravidade, e dissemos que o sentido positivo do eixo z é para baixo, daí q tem que ser positivo. Daí:

q = 0,41   c m / s    

Como o enunciado pede nas unidades m 3 / ( m 2 . h ) , convertemos e:

q = Q A = 14,85 m 3 m 2 . h  

Resposta

q = Q A = 14,85 m 3 m 2 . h