Exercícios Resolvidos de Interferência com Múltiplas Fendas Pontuais

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Enunciado

Em uma demonstração de interferência com ondas sonoras, cinco alto-falantes emitem ondas de frequência igual a 680   Hz e intensidade I 0 .

Os alto-falantes estão em fase e separados entre si por uma distância de 1,5   m . A disposição geométrica dos alto-falantes é mostrada na figura abaixo.

As medidas da intensidade do som são feitas por um experimentador que se posiciona sobre a reta A B , a 50   m do plano que contém os alto-falantes. A velocidade do som no ar nas CNTP é de 340   m / s .

Considere os alto-falantes como fontes puntiformes, e despreze efeitos de reflexão nas paredes do laboratório.

  1. Calcule o valor máximo da razão I ( θ ) / I 0 , onde I 0 é a intensidade de um alto-falante.
  2. Calcule a distância linear sobre a reta de observação entre o máximo central e um máximo principal de primeira ordem.
  3. Quantos zeros há entre dois máximos principais consecutivos?
  4. Faça o diagrama de fasores correspondente ao primeiro mínimo.

Passo 1

a) Calcule o valor máximo da razão I ( θ ) / I 0 , onde I 0 é a intensidade de um alto-falante.

Para múltiplas fendas, a interferência I θ é dada por:

I θ = I 0 sen ⁡ N ϕ 2 sen ⁡ ϕ 2 2

Onde N é o número de fendas que no nosso caso é o número de alto-falantes.

Uma das informações importantes que podemos tirar dos gráficos é que a altura de cada máximo principal é proporcional a N 2 .

Como temos 5 fendas, o gráfico da interferência é algo desse tipo:

Assim, o maior valor possível da fração I ( θ ) / I 0 será referente ao maior valor possível de I ( θ ) , que, no caso de 5 fendas, será:

I θ máx = N 2 I 0 = 25 I 0

Logo:

I θ I 0 máx = 25 I 0 I 0 = 25

Passo 2

b) Calcule a distância linear sobre a reta de observação entre o máximo central e um máximo principal de primeira ordem.

O problema nos pede a distância linear sobre a reta de observação y m .

Os máximos maiores estão localizados nas mesmas posições do caso de fenda dupla.

Logo, a posição dos máximos, medida a partir do máximo central é dada por:

y m = D m λ d

Onde:

D = 50   m ;

d = 1,5   m ;

Como o problema está falando do máximo principal de primeira ordem, m = 1 .

Nos falta apenas descobrir o valor de λ .

Passo 3

Como o problema nos dá a frequência e a velocidade da onda, para descobrir o valor do comprimento de onda λ , podemos usar a seguinte relação:

v = λ f →   λ = v f

Onde:

v = 340   m / s ;

f = 680   Hz ;

Logo:

λ = 340 680 = 0,5   m

Passo 4

y m = D m λ d

y 1 = 50 × 1 × 0,5 1,5 = 16,7   m

Passo 5

c) Quantos zeros há entre dois máximos principais consecutivos?

Para N fendas, outra informação muito importante que podemos tirar dos gráficos é que entre dois máximos principais existem ( N - 2 ) máximos secundários e ( N - 1 ) mínimos, respondendo a nossa pergunta.

Assim, existem 5 - 1 = 4 zeros entre dois máximos principais.

Passo 6

d) Faça o diagrama de fasores correspondente ao primeiro mínimo.

Cada um dos mínimos ocorre quando a diferença de fase entre duas ondas consecutivas é dada por:

ϕ m = m 2 π N

Como estamos falando do primeiro mínimo, a diferença de fase é dada por:

ϕ 1 = 1 × 2 π 5 = 2 π 5

Passo 7

Como se tratam de 5 fendas, o diagrama de fasores será desta forma.

Lembrando que, ao somar a diferença de fase 2 π 5 cinco vezes resulta 2 π , um círculo completo. Por isso, terminamos onde começamos.

Resposta

a)

I θ I 0 máx = 25

b)

y 1 = 16,7   m

c)

Existem 4 zeros entre dois máximos principais.

d)

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