Exercícios Resolvidos de Introdução à Dinâmica de Corpos Rígidos

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Enunciado

01) Um bloco de massa m está apoiado, em equilíbrio, sobre uma mola de constante elástica k . Subitamente, um segundo bloco de massa 2 m é apoiado, sem choque, sobre o primeiro bloco. Pede-se:

a) A deformação inicial da mola.

b) O deslocamento vertical correspondente à máxima velocidade dos blocos.

c) A máxima velocidade dos blocos.

d) A máxima deformação da mola.

e) A máxima força exercida pela mola sobre os dois blocos.

Passo 1

Faaala gente bonita do Responde Aí, como vocês estão?

a) Nessa questão temos inicialmente um bloco, de massa m , apoiado sobre uma mola. Isso significa que inicialmente a mola já está deformada, vamos chamar essa deformação de δ 0 , beleza?

Aí, do nada, coloca-se um outro bloquinho, de massa 2 m , em cima desse conjunto. Naturalmente, o conjunto inteiro vai começar a oscilar, em um movimento tipo MHS.

Pra começar bem, devemos determinar a deformação inicial da mola.

Bom, bora desenhar o diagrama de forças pro nosso bloco no instante inicial. Temos apenas a força peso e a força elástica atuando sobre ele, que está em equilíbrio. Daí:

Pela 2 ° lei de Newton, temos:

k δ 0 - m g = 0

⇒ δ 0 = m g k

Prontinho! Essa é a deformação inicial da mola.

Passo 2

b) Nesse item devemos determinar o deslocamento vertical quando a velocidade é máxima.

Pô, comentamos anteriormente que quando apoiamos o bloco de massa 2 m , o conjunto passa a realizar um movimento oscilatório. Mas, em qual momento do movimento oscilatório temos velocidade máxima?

Cara, é justamente quando a aceleração for nula!

Imagina só, o conjunto está sendo acelerado, mas a aceleração vai diminuindo. Enquanto tivermos a > 0 o conjunto ganha velocidade.

Em um dado instante, temos a = 0 , e logo após isso a aceleração passa a ser negativa, com a velocidade do conjunto diminuindo.

Assim, a máxima velocidade alcançada é exatamente quando a = 0 , sacou?

Então tá, bora calcular o deslocamento quando a = 0 . Desenhando o diagrama de forças do conjunto, temos:

Nota que já escrevemos y como sendo o deslocamento em relação ao nível inicial δ 0 .

Daí, usando a 2 ° lei de Newton, temos:

3 m g - k y + δ 0 = 3 m ⋅ a

Do item a), sabemos que:

k δ 0 = m g

Substituindo, temos:

3 m g - k y - m g = 3 m ⋅ a

⇒ a = 2 m g - k y 3 m

Como queremos o deslocamento quando a = 0 , vem:

2 m g - k y = 0

∴ y = 2 m g k

Bouaa! Matamos mais um item 😊

Passo 3

c) Devemos determinar a máxima velocidade dos blocos.

No item anterior, vimos que essa máxima velocidade ocorre justamente quando a = 0 , o que implica

y = 2 m g k

Beleza, mas e agora?

Bom, a gente pode tentar uma abordagem por energia, que é um ótimo caminho já que só atuam forças conservativas. Mas, tem também uma ideia bem legal pra gente trabalhar nesse exercício.

Sabemos que:

a = d v d t

Só que a expressão que calculamos no item anterior para a aceleração está em função de y , e não de t . Lembra?

a ( y ) = 2 g 3 - k y 3 m

Tem um truque bem legal pra resolver esse problema, podemos fazer:

a = d v d t ⋅ d y d y

∴ a = d v d y ⋅ d y d t

Mas,

d y d t = v

Assim, chegamos que:

a = v ⋅ d v d y

Top né? Conseguimos eliminar o tempo da jogada. Então, vamos igualar nossas expressões:

v ⋅ d v d y = 2 g 3 - k y 3 m  

Essa equação é separável, então temos:

v d v = 2 g 3 - k y 3 m d y

Integrando dos dois lados, temos:

∫ v d v =   ∫ 2 g 3 - k y 3 m d y

⇒ v 2 2 = 2 g y 3 - k y 2 6 m + C

Pra eliminar a constante basta lembrar que, quando y = 0 , v = 0 . Assim:

C = 0

Logo:

v = 2 ⋅ 2 g y 3 - k y 2 6 m

Agora é só dar o golpe final. Sabemos que v é máxima quando y = 2 m g / k . Assim:

v = 2 ⋅ 2 g 2 m g k 3 - k 2 m g k 2 6 m  

⇒ v = 2 ⋅ 4 m g 2 3 k - 4 m g 2 6 k

v = 2 g m 3 k

Bouaaaa! É uma forma com um trabalho mais algébrico para calcular a velocidade.

Passo 4

d) Agora devemos calcular a máxima deformação da mola.

Mas, em que instante que ocorre y m á x ? Tipo, qual a característica física desse instante?

É justamente quando a velocidade zera.

Pensa comigo, enquanto tivermos v > 0 a deformação está aumentando, porém, a velocidade vai diminuindo. Em um certo momento ocorre inversão do sentido do deslocamento, ou seja, v = 0 . Nesse momento, foi alcançado o y m á x . Entendeu?

Massa! No item anterior calculamos uma expressão para v :

v 2 2 = 2 g y 3 - k y 2 6 m

Se v = 0 , temos:

2 g y m á x 3 - k y m á x 2 6 m = 0

y m á x 2 g 3 - k y m á x 6 m = 0

Como queremos que a deformação seja máxima, a solução y m á x = 0   não nos interessa. Logo:

2 g 3 - k y m á x 6 m = 0

⇒ y m á x = 4 m g k

Essa é a resposta final??

Nãooo haha. É que a questão pede a deformação máxima da mola, y m á x é a amplitude máxima da oscilação. Pra calcular a deformação máxima devemos considerar que, inicialmente, ela já possui uma deformação δ 0 . Assim:

δ m á x =   δ 0 + y m á x

δ m á x = m g k + 4 m g k

δ m á x = 5 m g k

Agora simm! Essa é a resposta do item d) 😊

Passo 5

e) Pra finalizar mais uma questaozita, devemos calcular a força máxima exercida pela mola no conjunto.

Pô, pensa comigo, sabemos que:

F e l = k ⋅ δ

k é uma constante, logo a força é máxima quando tivermos δ =   δ m á x .

Portanto, usando o resultado do item anterior, temos:

F e l ,   m á x = k ⋅ 5 m g k

Logo:

F e l ,   m á x = 5 m g

Aeee, terminamos! Foi bem legal essa questão, né?

Espero que vocês tenham gostado, até a próxima pessoal 😉

Resposta

a)

δ 0 = m g k

b)

y = 2 m g k

c) v = 2 g m 3 k

d) δ m á x = 5 m g k

e) F e l ,   m á x = 5 m g

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