Exercícios Resolvidos de Introdução à Dinâmica de Corpos Rígidos

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Enunciado

O sólido mostrado na figura é formado pela revolução da área cinza-escuro ao redor do eixo y . Determine o raio de giração k y . O peso específico do material é γ = 380   l b / p é 3 .

Passo 1

Sabemos que para calcular o raio de giração temos que usar a seguinte fórmula:

k = I m

Onde, I é o momento de inércia e m é a massa. Então, vamos começar nosso problema achando a massa deste corpo.

Para resolver esta questão vamos usar o método do disco elementar, ou seja, vamos criar um disco dentro do nosso sólido de raio x e uma espessura infinitesimal d y . Com isso, sabemos que o nosso volume será:

d V = π x 2 d y

Vamos começar calculando a massa deste cilindro e para isso temos que saber que:

m = ∫ d m

Mas como se calcula esse elemento de massa infinitesimal d m ?

d m = ρ d V

Opa, vamos substituir o nosso d V neste equação:

d m = ρ d V   →         d m = ρ π x 2 d y

Então, a nossa integral vai ficar:

m = ∫ d m     →         m = ∫ ρ π x 2 d y

Vamos passar as nossas constantes para o lado de fora da equação:

m = π ρ ∫ x 2 d y

E agora vamos integrar ao longo da altura do sólido ( h = 3   p o l ) de modo que o nosso disco percorra toda a sua altura:

m = π ρ ∫ 0 3 x 2 d y

Perceba que na figura foi dada a equação do sólido:

y 3 = 9 x

Vamos substituir o x da nossa integral:

m = π ρ ∫ 0 3 y 3 9 2 d y

m = π ρ 81 ∫ 0 3 y 6 d y

m = π ρ 81 y 7 7 | 0 3         →           m = π ρ 81 3 7 7

Como a unidade do gráfico está em polegadas, vamos passar o peso específico de pés para polegadas:

1   p é = 12   p o l

Então:

γ = 380 l b p é 3     →         γ =   380   l b 12 3   p o l 3

γ = 0,2199   l b / p o l 3

Vamos usar no lugar da densidade a massa específica e fazer uma conversão de unidades no final:

m = π γ 81 3 7 7     →         m = π ( 0,2199   ) 81 3 7 7

m = 2,665   l b

Porém, a unidade americana para massa é o s l u g que equivale a:

1   s l u g = 32,174   l b

Portanto:

m = 2,665   l b     →         m = 2,665   32,174

m = 2,665   32,174 = 0,083   s l u g

Passo 2

Nosso próximo passo é calcular o momento de inércia em relação ao eixo y . Para isso, temos que calcular o momento de inércia do disco de espessura infinitesimal. Mas sabemos que o momento de inércia de um cilindro em relação ao seu eixo longitudinal é:

I =   m R 2 2

Como o disco que criamos é um cilindro só que de espessura bem pequena, é só derivarmos o momento de inércia do cilindro que é sempre o mesmo para o eixo longitudinal:

d I y = d m R 2 2

Repare que o raio R é constante, por isso só derivamos a massa.

Nós já sabemos que:

d m = ρ π x 2 d y

Então d I x vai ser:

d I y = ( ρ π x 2 d y ) R 2 2

Repare que o raio r = x do nosso disco varia conforme ele percorre toda a altura do cone, então:

d I y = ( ρ π x 2 d y ) x 2 2

Vamos ter que:

d I y = ρ π x 4 d y 2

Como estamos trabalhando com a unidade americana, vamos trocar ρ por γ :

d I y = γ π x 4 d y 2

Passo 3

Pronto! Agora é só integrarmos dos dois lados:

∫ d I x = ∫ γ π x 4 d y 2

Vamos tirar nossas constantes para fora da integral:

I y = γ π 2 ∫ x 4 d y

Nós sabemos que a equação do sólido é: y 3 = 9 x     →         x = y 3 9

Então, a nossa integral fica:

I y = γ π 2 ∫ y 3 9 4 d y

Vamos integrar ao longo da altura:

I y = γ π 13122 ∫ y 3 4 d y       →           I y = γ π 13122 ∫ 0 3 y 12 d y

Vamos ter que:

I y = γ π 13122 y 13 13 | 0 3

I y = γ π 13122 ( 3 ) 13 13

Como γ = 0,2199   l b / p o l 3 , vamos ter:

I y = ( 0,2199   ) π 13122 ( 3 ) 13 13

Sabemos que:

I y = 6,457   l b . p o l 2

Vamos passar de l b para a unidade s l u g . Para isso, é só dividir por 32,174 :

I y = 6,457 32,174  

I y = 0,201   s l u g . p o l 2

Passo 4

Para finalizar, vamos calcular o raio de giração k y :

k y = I y m       →           k y = 0,201   0,083

k y = 1,55   p o l

Resposta

k y = 1,55   p o l

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