Enunciado

A roda consiste num anel fino de 10   k g e quatro raios feitos de barras delgadas, cada uma com com 2   k g . Determine o momento de inércia da roda em relação a um eixo que é perpendicular à página e passa pelo ponto A . Suponha que as barras e o anel são homogêneos.

Passo 1

Para resolver este problema vamos ter que aplicar o teorema dos eixos paralelos. Repare que temos duas barras e um anel, então vamos calcular o momento de inércia deles com relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade G .

O momento de inércia com relação a um eixo que passa pelo centro de gravidade é:

I G = ∫ r 2 d m

Mas sabemos que:

m = ∫ d m

E repare que no enunciado foram dadas as massas m de cada elemento que compõe o corpo. Como o raio é constante, podemos dizer que o momento de inércia com relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade é:

I G = m r 2

O momento de inércia de um anel fino é tabelado:

I G a n e l = m r 2

Onde, r é o raio do anel. Então, no nosso caso teremos:

I G a n e l = m a n e l r 2

Temos que a massa do anel é 10   k g e a distância do anel até o eixo é igual ao valor do raio de 0,5   m :

I G a n e l = 10 ( 0,5 ) 2

I G a n e l = 2,5   k g . m 2

Passo 2

Para as barras vamos fazer a mesma coisa. Sabemos que o momento de inércia de uma barra delgada também é tabelado e vale:

I G b a r r a = m L 2 3

Como estamos considerando o quatro barras, o comprimento de cada barra será de igual ao valor do raio do anel:

L = r = 0,5   m

Então:

I G b a r r a = m b a r r a r 2 3

A massa da barra vale 2   k g :

I G b a r r a = ( 2 ) ( 0,5 ) 2 3

I G b a r r a = 0,167   k g . m 2

Então, o momento de inércia com relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade da peça é igual a soma do momento de inércia com relação ao mesmo eixo de cada parte que compõe a figura:

I G T o t a l = I G a n e l + 4 I G b a r r a

Não esqueça que temos quatro barras e só calculamos o momento de inércia para uma delas:

I G T o t a l = 2,5 + 4 ( 0,167   )

I G T o t a l = 3,168   k g . m 2

Passo 3

Nosso próximo passo é calcular o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular à figura e que passa pelo ponto A . Para isso, temos que saber a distância d entre os eixos paralelos:

d = r = 0,5   m

Então, vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I A = I G + m d 2

I A = I G T o t a l + m a n e l d 2 + 4 m b a r r a d 2

Lembrando que a massa do anel é 10   k g e a massa da barra é de 2   k g :

I A = 3,168 + 10 ( 0,5 ) 2 + 4 ( 2 ) ( 0,5 ) 2

I A = 7,67   k g . m 2    

Resposta

I A = 7,67   k g . m 2    

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