Exercícios Resolvidos de Introdução à Dinâmica de Corpos Rígidos

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Enunciado

O cilindro sólido tem raio R e altura h. O material de que ele é feito tem uma densidade que varia com a distância r ao centro de acordo com a expressão ρ = k + a r 2 , onde k e a são constantes. Determine a )   a massa do cilindro e b ) seu momento de inércia em relação ao eixo z .

Passo 1

Para resolver este problema vamos usar o método da casca elementar, ou seja, vamos criar uma casca dentro do nosso cilindro com altura z = h , raio y = r e uma espessura infinitesimal d y = d r :

Com isso, sabemos que o nosso volume será:

d V = 2 π r h d r

Vamos começar calculando a massa deste cilindro e para isso temos que saber que:

m = ∫ d m

Mas não esqueça que:

d m = ρ d V

Opa, vamos substituir o nosso d V neste equação:

d m = ρ d V   →         d m = ρ 2 π r h d r

Então, a nossa integral vai ficar:

m = ∫ d m     →         m = ∫ ρ 2 π r h d r

Mas foi dito no enunciado que ρ = k + a r 2 , então:

m = ∫ ρ 2 π r h d r     →           m = ∫ ( k + a r 2 ) 2 π r h d r

Vamos passar as nossas constantes para o lado de fora da equação:

m = 2 π h ∫ ( k + a r 2 ) r d r

E agora vamos integrar ao longo do raio do cilindro de modo que a nossa casca vá de 0 a R :

m = 2 π h ∫ 0 R k r d r + ∫ 0 R a r 3 d r

m = 2 π h k r 2 2 | 0 R + a r 4 4 | 0 R

Vamos ter que:

m = 2 π h k R 2 2 + a R 4 4

Podemos arrumar um pouco mais isso:

m = 2 π h R 2 k 2 + a R 2 4

Passo 2

Nosso próximo passo é calcular o momento de inércia em relação ao eixo z . Para isso, temos que usar a equação do momento de inércia:

I z = ∫ r 2 d m

Mas sabemos que:

d m = ρ 2 π r h d r

Então:

I z = ∫ r 2 ρ 2 π r h d r

I z = 2 π h ∫ ρ r 3 d r

Sabemos também que:

ρ = k + a r 2

Então:

I z = 2 π h ∫ ( k + a r 2 ) r 3 d r

Podemos separa em duas integrais e integrar ao longo do raio:

I z = 2 π h ∫ 0 R k r 3 d r + ∫ 0 R a r 5 d r

I z = 2 π h k r 4 4 | 0 R + a r 6 6 | 0 R

Então, I z será:

I z = 2 π h k R 4 4 + a R 6 6

Podemos ajeitar isso um pouco mais:

I z = 2 π h R 4 k 4 + a R 2 6

Resposta

a ) m = 2 π h R 2 k 2 + a R 2 4

b )   I z = 2 π h R 4 k 4 + a R 2 6

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