Exercícios Resolvidos de Introdução à Dinâmica de Corpos Rígidos

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Enunciado

O sistema consiste num disco de 6   k g e de duas barras delgadas A B e D C , cada uma com 2   k g / m . Se L = 0,75   m , determine o momento de inércia do sistema em relação ao eixo que é perpendicular à página e passa por O . Suponha que as barras e o disco são homogêneos.

Passo 1

Vamos começar calculando o momento de inércia da barra D C com relação a um eixo que passe pelo seu centro de massa:

O momento de inércia de uma barra em relação a um eixo que passa pelo seu centro de gravidade é tabelado:

Então:

I G = M D C L D C 2 12

Qual é a massa da barra D C ? Sabemos que ela possui 2   k g por metro. Se esta barra tem 0,75   m , então:

M D C = 2 0,75     →             M D C = 1,5   k g

Então, seu momento de inércia será:

I G = M D C L D C 2 12       →           I G = 1,5 ( 0,75 ) 2 12

I G = 0,0703   k g . m 2  

Passo 2

Repare que o exercício quer o momento de inércia com relação a um eixo que passa pelo ponto O . Para calcular isso, temos que usar o teorema dos eixos paralelos:

I O = I G + m d 2

Qual será a distância d entre os eixos?

Então:

I O = I G + m d 2       →           I O = 0,0703   + 1,5 ( 0,5 ) 2

I O = 0,4453   k g . m 2

Passo 3

Agora vamos calcular o momento de inércia da barra A B com relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa (que corresponde à metade do seu comprimento):

O momento de inércia de uma barra delgada nós já vimos que é:

I G = M A B L A B 2 12

Mas qual é o valor da massa dessa barra? Nós vamos calcular da mesma maneira que calculamos anteriormente. A barra A B também posssui 2   k g para cada metro de barra e no total ela tem 1,30   m , então:

M A B = 2 1,3       →             M A B = 2,6   k g

O momento de inércia da barra A B será:

I G = M A B L A B 2 12       →           I G = 2,6 ( 1,3 ) 2 12

I G = 0,3662     k g . m 2  

Passo 4

Agora temos que calcular o momento de inércia dessa barra com relação ao eixo que passa pelo ponto O :

I O = I G + m d 2

Então:

I O = I G + m d 2       →           I O = 0,3662     + 2,6 ( 0,15 ) 2

I O = 0,4247     k g . m 2  

Passo 5

Agora vamos calcular o momento de inércia da placa circular com relação a esse eixo aqui:

O momento de inércia de uma placa circular com relação ao eixo que passa pelo seu centro de gravidade também é tabelado:

Então, no nosso caso teremos:

I G = M R 2 2

A nossa placa tem 6   k g e possui raio de 0,2   m :

I G = 6 ( 0,2 ) 2 2         →             I G = 0,12   k g . m 2

Passo 6

O que queremos é o momento de inércia com relação ao eixo que passa pelo ponto O , então vamos ter que usar o teorema dos eixos paralelos:

I O = I G + m d 2

Então:

I O = I G + m d 2       →           I O = 0,12 + 6 ( 1 ) 2

I O = 6,12   k g . m 2

Passo 7

Para calcular o momento de inércia do conjunto de peças, temos que somar todos os momentos que achamos para cada parte que compõe o sistema:

I O = 0,4453 + 0,4247 + 6,12  

I O = 6,99   k g . m 2

Passo 8

Resposta

I O = 6,99   k g . m 2

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