Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 3, Questão 2ii

Dadas as funções f x = x 2 + 3       s e   x 1 x + 1       s e   x > 1 e g x = x 2       s e   x 1 2       s e   x > 1 ,

i i Calcule lim x 1 f x e lim x 1 g x

Passo 1

Como as expressões são diferentes à esquerda e à direita dos limites, vamos usar os limites laterais. Se os limites laterais existirem e forem iguais, então o limite vai existir.

É importante você notar aqui que para o limite existir, basta que os limites laterais existam e sejam iguais, mas não é necessário que os limites sejam iguais ao valor da função no ponto. Esse é um requisito para continuidade e não para existência do limite.

Para f , como a expressão à esquerda de x = 1 é x 2 + 3 :

lim x 1 - f x = l i m x 1 - x 2 + 3

Como não indeterminação, podemos substituir direito: l i m x 1 - x 2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 4

Como a expressão à direita de x = 1 é x + 1 : lim x 1 + f x = l i m x 1 - x + 1

Como não indeterminação, podemos substituir direito:

l i m x 1 - x + 1 = 1 - + 1 = 2

Como:

lim x 1 - f x l i m x 1 - x + 1

Concluímos que:

lim x 1 f x não existe!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

De maneira análoga, para g :

lim x 1 - g x = l i m x 1 - x 2 = 1 - 2 = 1

lim x 1 + g x = l i m x 1 + 2

O limite de uma constante é ela mesma, logo: l i m x 1 + 2 = 2

Como: lim x 1 - g x lim x 1 + g x

Concluímos que:

lim x 1 g x não existe!

Resposta

Não existe nenhum desses limites

lim x 1 - f x = 4

lim x 1 + f x = 2

lim x 1 - g x = 1

lim x 1 + g x = 2

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