Diagramas de esforços e momento fletor

Teoria Completa

O diagrama de esforço cortante (DEC) nada mais é que um gráfico onde você coloca o comprimento da viga no eixo x e o valor do cortante no eixo y . Vamos ver um exemplo onde temos um cortante constante ao longo de uma viga:

Se a gente for calcular as reações vamos ter:

Para o eixo horizontal:

∑ F x = 0

A x = 0

Para o eixo vertical:

∑ F y = 0

A y - 10 = 0

A y = 10   k N

Para o momento aplicado em A e com sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

M A - 10 × 5 = 0

M A = 50   k N . m

Agora podemos fazer uma seção para calcular a força cisalhante, normal e momento fletor:

Trazendo novamente as equações da estática:

Para o eixo horizontal:

∑ F x = 0

N = 0

Logo não há força normal.

Para o eixo vertical:

∑ F y = 0

10 - V = 0

V = 10   k N

Logo a cortante é constante e igual a 10.

Para o momento, aplicado em A e com sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

50 - ( V . x ) + M = 0

50 - 10 x + M = 0

M = ( 10 x - 50 )   k N . m

Logo, o momento fletor é representando por uma reta com valor inicial - 50   k N . m e final 0 .

Represetando a força cortante vamos ter:

O diagrama de momento fletor (DMF) também é um gráfico onde você coloca o comprimento da viga no eixo x e o valor do momento fletor no eixo y . Vamos ver um exemplo onde temos um momento que varia linearmente ao longo de uma viga:

Repare que o momento fletor negativo é comumente represetando a cima do eixo x mesmo, ok!?

Resumimho

Quando tiver que fazer o digrama de cortante e momento fletor, você precisa calcular os esforços internos em pontos-chaves da viga. E quais são esses pontos?

  • Nos apoios;
  • Onde tem uma carga pontual ou um momento concentrado;
  • Onde começa e termina uma carga distribuída.

Sempre que tem uma força concentrada em um ponto, haverá uma descontinuidade do cortante. E quando tem um momento concentrado vai ter descontinuidade do momento.

Mas o que isso significa? Para um mesmo ponto, o valor do cortante possui dois valores, ou seja, no diagrama do cortante teremos dois valores de y para um mesmo x .

E olha só, para conferir nossos cálculos a diferença entre os dois valores de cortante deverá ser exatamente o valor da carga concentrada naquele ponto. Vamos ver um exemplo:

Como teremos dois valores de cortante para um mesmo ponto? Ao fazer uma seção em um ponto onde tem uma força concentrada, não podemos dividir essa força ao meio. Então, temos que fazer uma seção um tantinho antes ou depois do ponto onde está a força. Mas é um tantinho mesmo, um infinitésimo, uma distância desprezível.

Vamos ter a mesma coisa no diagrama do momento fletor quando há um momento concentrado em algum ponto:

Partiu exercícios? Então, vamos lá!

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Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 213, 5/117

Determine as distribuições da força cortante e do momento fletor produzidos na viga pela carga concentrada. Quais são os valores do cortante e do momento em x = l / 2 ?

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Passo 1

Vamos calcular primeiro as reações de apoio no ponto A :

Pelo equilíbrio de forças verticais, temos que:

∑ F y = 0       →       R A - P = 0

R A = P

Agora vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A e considerar o momento positivo girando no sentido anti-horário:

∑ M A = 0       →           M A - P 2 l 3 = 0

M A = 2 P l 3

Pronto, agora já sabemos as reações de apoio.

Passo 2

Vamos agora calcular o cortante e o momento fletor. Para isso, vamos analisar o que acontece quando fazemos um corte na viga um pouco infinitésimo antes de onde está a carga P :

Repare que cortamos a viga em x = 2 l 3 , mas sem pegar a carga P !!!

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - V = 0

V = R A = P

No ponto A da viga temos um cortante que é devido à reação de apoio. Vamos analisar o sinal dos cortantes que temos:

Repare que eles são positivos, pois as setas estão no mesmo sentido do cortante que estabelecemos como positivo.

Agora vamos ver o momento fletor...

Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em x = 2 l 3 :

∑ M x = 2 l 3 = 0       →           M A - R A 2 l 3 - M = 0

2 P l 3 - P 2 l 3 - M = 0       →         M = 0

Então, o momento fletor na seção que cortamos a viga é zero.

Mas no início da viga, ou seja, no ponto A existe um momento fletor que é a nossa reação de apoio devido ao engaste. Vamos analisar o seu sinal:

Repare que o nosso momento gira no sentido contrário do momento fletor que estabelecemos como positivo, então ele é negativo:

M A = - 2 P l 3

Passo 3

Agora vamos cortar a viga um infinitésimo depois do ponto onde está a carga P :

Repare que cortamos a viga em x = 2 l 3 , mas incluindo a carga P !!!

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - P - V = 0

P - P - V = 0       →           V = 0

Ou seja, o cortante é zero um infinitésimo depois da carga P . Isso ocorre porque toda vez que tivermos uma carga concentrada teremos descontinuidade do cortante.

O momento fletor nesta seção vai ser zero também, como já fizemos antes.

Passo 4

Agora vamos fazer analisar o que teremos no final da viga:

Aqui cortamos a viga em x = l .

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - P - V = 0

P - P - V = 0       →           V = 0

Ou seja, o cortante continua sendo zero nesta parte da viga!

Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em x = l

∑ M x = l = 0       →           M A - R A l + P l 3 - M = 0

2 P l 3 - P l + P l 3 - M = 0       →         2 P l 3 - 2 P l 3 - M = 0

  M = 0

Então, o momento fletor no final da viga também é zero.

Passo 5

Agora temos que montar os nossos diagramas. O diagrama de cortante fica assim:

Repare que no ponto onde a carga concentrada está existe uma descontinuidade do cortante!

E o diagrama de momento fletor fica assim:

É só marcarmos os valores que achamos em cada seção que fizemos na viga e ligar os valores.

Passo 6

Agora precisamos saber quanto vale o cortante e o momento fletor em x = l / 2 .

Observando nosso diagrama, em x = l / 2 vamos ter que:

Ou seja, o cortante é:

V = P

Para saber o momento fletor vamos fazer um corte na viga em x = l / 2 :

Agora é só fazermos o somatório de momentos com relação à x = l / 2 :

∑ M x = l 2 = 0       →           M A - R A l 2 - M = 0

2 P l 3 - P l 2 - M = 0       →         M = P l 6

Agora vamos analisar o seu sinal:

Como o momento fletor que achamos gira no sentido contrário ao que consideramos como positivo, então ele é negativo:

M = - P l 6

Resposta

V = P

M = - P l 6

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam e L.G. Kraige,Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 213-5/121

Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga submetida a um momento em sua extremidade. Qual é o valor do momento em uma seção 0,5   m à direita de B ?

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Passo 1

Vamos começar achando as reações de apoio e para isso temos que fazer nosso diagrama de corpo livre:

Primeiro vamos calcular o momento com relação ao ponto A .

∑ M A = 0 →   B y 2 - 120 = 0

B y = 60   N

Agora vamos fazer o somatório de forças em cada eixo.

∑ F x = 0   →   A x = 0

∑ F Y = 0   →   60 - A y = 0

A y = 60   N

Passo 2

Não esqueça que quando tem uma força concentrada em um ponto, haverá uma descontinuidade do cortante. E quando há um momento concentrado tem descontinuidade do momento.

Então, neste nosso exercício temos que calcular o cortante e o momento fletor nos pontos A ,   B   e C .

Como teremos dois valores de cortante para um mesmo ponto? Ao fazer uma seção em um ponto onde tem uma força concentrada, não podemos dividir essa força ao meio.

Então, temos que fazer uma seção um tantinho antes ou um tantinho depois do ponto onde está a força. Mas é um tantinho mesmo, um infinitésimo, uma distância desprezível.

Olha o ponto A como fica quando fazemos a seção um infinitésimo antes da reação A y :

Ao escolher a parte 1 , temos que levar todas as forças da parte 2 com seus respectivos momentos até a seção da parte 1 :

O cortante resultante nessa seção será zero e o momento fletor também será zero.

Dizemos que o cortante pela esquerda é zero e o momento fletor, que não tem descontinuidade, também é nulo, logo:

V A e s q = 0

M A = 0

Mas e se escolhermos a parte 2 ? Temos que levar as forças e momentos da parte 1 para a seção da parte 2 . Mas não tem nada na parte 1 para ser levado, certo? Então a parte 2 fica:

Neste caso, o valor do nosso cortante no ponto A   é de 60   N !!!

Percebeu o porquê da descontinuidade? Cada parte que escolho para equilibrar vai dar um valor de cortante diferente. Repare que o momento fletor no ponto A dessa parte 2 também é zero. Ele não muda, porque não tem nenhum momento concentrado neste ponto.

Agora temos que analisar o seu sinal e para isso vamos comparar com o nosso esqueminha de cortante positivo:

A reação A y está apontando para baixo enquanto que a setinha do cortante positivo aponta para cima, ou seja, o nosso cortante no ponto   A é negativo. Dizemos que o cortante pela direita é:

V A d i r = -   60   N

M A = 0

Passo 3

Vamos para o ponto B agora. Neste ponto temos o mesmo problema: uma força concentrada.

Vamos fazer o mesmo procedimento: fazer a seção um tantinho à direita do ponto B , assim:

Repare que a parte 1 ficou com a força B y que está no ponto B e a parte 2 ficou sem essa força. Vamos fazer o equilíbrio da parte 1 primeiro levando a contribuição da parte 2 :

Então, o cortante na seção do ponto B pela esquerda é:

V B e s q = -   60   N

E o momento fletor? Seu valor vai ser 120   N m . Para sabermos o sinal, vamos comparar com o nosso esqueminha de momento positivo:

Portanto, nosso momento fletor vai ser:

M B = -   120   N m

Agora vamos fazer a mesma coisa para a parte 2 . Antes de tudo vamos equilibrar esta parte levando a contribuição da parte 1 :

Agora vamos achar a resultante das forças e momentos:

Perceba que o cortante agora é zero e que o momento fletor continuou o mesmo (já que não tem momento concentrado). Então, pela direita temos:

V B d i r = 0

M B = -   120   N m

Passo 4

Agora vamos para o nosso último ponto, onde está o momento. Como não há nenhuma força neste ponto, não vai ter descontinuidade do cortante. Mas tem um momento concentrado aí, logo teremos uma descontinuidade do momento.

Vamos fazer uma seção um pouquinho à direita do momento de 120   N m , assim:

Temos que equilibrar e achar a resultante na seção de cada uma das partes.

A parte 1 já está equilibrada e não tem nada da parte 2 para levar para esta seção:

Então, pela esquerda:

V c = 0

M C e s q = - 120   N m

Fazendo a mesma coisa para a parte 2 :

Então, pela direita:

V c = 0

M C d i r = 0

Passo 5

Nosso último passo é fazer cada diagrama que nada mais é do que um gráfico de como os esforços internos variam ao longo da viga.

Vamos marcar no gráfico os pontos chaves que achamos.

  • Cortante: perceba que só temos forças concentradas, então o cortante entre o trecho A B - é constante:

  • Momento Fletor: o cortante é a derivada do momento, então se temos o cortante e queremos saber o momento temos que integrar, certo? Portanto, o que é uma reta constante vai virar uma reta que varia linearmente.

Não esqueça que a integral de zero é uma constante!!!

Agora podemos responder qual é o valor do momento em uma seção 0,5   m à direita de B só olhando nosso diagrama de momento fletor:

M = - 120   N m

Resposta

V e r   d i a g r a m a s   a c i m a

M = - 120   N m

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 214, 5/130

Desenhe os diagramas de cortante e de momento para a viga em balanço carregada, para a qual o momento M 1 é ajustado de modo a produzir um momento nulo na extremidade engastada da viga. Determine o momento fletor M   em x = 2 .

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Passo 1

Vamos primeiro calcular a força resultante do carregamento distribuído:

F r = 2 4     →         F r = 8   k N

Então, temos o seguinte diagrama de corpo livre:

Repare que a força resultante fica localizada na metade do comprimento do carregamento distribuído, ou seja, a 2   m do engaste!

Vamos primeiro calcular a reação na parte engastada:

∑ F = 0     →       R A - 8 = 0

R A = 8   k N

E quanto vale o momento M 1 ? Vamos fazer o somatório de momentos com relação ao engaste considerando o momento girando no sentido anti-horário como positivo:

M 1 - 8 2 = 0       →       M 1 = 16   k N m

Repare que não colocamos momento como reação no engaste, pois o enunciado disse que o momento deve ser nulo!!!

Passo 2

Agora vamos achar o cortante V . Para isso vamos fazer uma seção em x = 4   m :

Para achar o cortante nesta seção, vamos fazer o somatório de forças verticais:

∑ F = 0     →       R A - 8 - V = 0

8 - 8 - V = 0       →         V = 0

Ou seja, na parte que cortamos a viga o cortante é zero. Mas tem o cortante na parte inicial da viga devido à reação de apoio R A . Vamos analisar seu sinal:

Repare que o cortante é positivo, pois R A aponta no mesmo sentido do cortante positivo.

E o momento fletor M ? Vamos usar o somatório de momentos com relação ao ponto A :

∑ M A = 0       →           M - V 4 - F r 2 = 0

M - 0 4 - 8 2 = 0         →           M = 16   k N m

Vamos analisar seu sinal:

Repare que o momento fletor é positivo!

Passo 3

Agora vamos analisar o que acontece no final da viga:

Para calcular o cortante V é só fazermos o equilíbrio de forças:

∑ F = 0     →       R A - 8 - V = 0

8 - 8 - V = 0       →         V = 0

Ou seja, o cortante continua sendo zero até o final da viga.

Como há um momento concentrado no final da viga, sabemos que vai ter uma descontinuidade do momento fletor. Então vamos analisar qual é o momento fletor um infinitésimo antes do momento M 1 :

Vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A :

∑ M A = 0       →           M - V 4 - F r 2 = 0

M - 0 4 - 8 2 = 0         →           M = 16   k N m

E o seu sinal será positivo, pois: