Teoria

O Momento Fletor nada mais é do que a soma dos momentos relativos a seção , contidos no eixo de uma peça, gerados por cargas aplicadas transversalmente ao eixo longitudinal.

Ele produz um esforço que tende a curvar a estrutura em relação ao seu eixo longitudinal, provocando tensões normais de tração e compressão na estrutura.

Que?! 😵‍💫😵‍💫😵‍💫

Imagina essa peça aqui:

Momento Fletor
Momento Fletor

Percebe como a peça esta se curvando? É esse o efeito do momento fletor, ele é uma resultante de todos os momentos produzidos em uma estrutura e seu efeito é dobra-la.

É muito importante a gente se atentar ao sinal do momento fletor!

Vamos considerar o momento fletor positivo sempre que ele estiver tracionando a parte debaixo da viga e comprimindo a parte de cima. Desse jeito aqui:

Momento Fletor Positivo
Momento Fletor Positivo

Já um momento fletor negativo faz as fibras superiores tracionarem e as inferiores comprimirem, assim:

Momento Fletor Negativo
Momento Fletor Negativo

Beleza, mas agora vamos aprender a calcular o momento fletor e aplicar esse conceito nas nossas vidas?

Efeitos Internos de Uma Viga

Nosso primeiro passo é aprender a calcular os efeitos internos de uma viga!

Se liga nesse vídeo iradoso que o Responde Aí preparou especialmente pra você 👇

Maneiro, não é?!

Agora podemos voltar pra nossa saga do momento fletor!

Um artifício visual muito usado aqui em Estática é o diagrama de momento fletor, que é uma gráfico do valor do momento fletor ao longo de uma viga. Para uma análise mais completa também usamos o o diagrama de esforços cortantes.

Não se preocupa, vamos aprender tudinho sobre esses dois carinhas!

Diagramas de Momento Fletor e Esforços Cortantes

Agora que a gente já aprendeu a calcular os esforços internos de uma viga a gente pode representar isso graficamente, fazendo o diagrama de momento fletor (DMF) e o diagrama de esforço cortante.

Pra ficar tudo bem claro, vamos fazer o diagrama de momento fletor (DMF) e o diagrama de esforço cortante pra seguinte viga:

Viga: Exemplo
Viga: Exemplo

Passo 1: Calcular as Reações de Apoio

Antes de qualquer coisa a gente vai esquematizar as reações:

Reações Internas: Esquema
Reações Internas: Esquema

Como estamos em equilíbrio, podemos dizer que o somatório de força e de momento são iguais a zero:

Para o eixo horizontal temos:

Para o eixo vertical:

Para o momento aplicado em e com sentido anti-horário positivo:

Passo 2: Calcular as Reações Internas

Agora podemos fazer uma seção para calcular a força cisalhante, normal e momento fletor:

Seção S: Força cisalhante, normal e momento fletor
Seção S: Força cisalhante, normal e momento fletor

Trazendo novamente as equações da estática, primeiro para o eixo horizontal:

Agora para o eixo horizontal:

Logo a cortante é constante e igual a 10.

Para o momento, aplicado em e com sentido anti-horário positivo:

Essa é a nossa equação do diagrama do momento fletor!

Passo 3: Plotar o Diagrama de Momento Fletor (DMF)

O diagrama de momento fletor (DMF) nada mais é que um gráfico que relaciona o comprimento de uma viga e o valor do momento fletor. Na prática você coloca o comprimento da viga no eixo e o valor do momento fletor no eixo .

Para o nosso exemplo o momento fletor tem a seguinte equação:

Para fazer o diagrama de momento fletor a gente calcula em que posição o momento fletor é igual a zero e qual é o momento fletor no apoio da viga e depois é só correr pro abraço, temos nosso diagrama do momento fletor:

Diagrama do momento fletor
Diagrama do momento fletor

Passo 4: Plotar o Diagrama de Esforço Cortante

O diagrama de esforço cortante (DEC) também é um gráfico onde você coloca o comprimento da viga no eixo , mas no eixo entra o valor do cortante.

Vimos que a força cortante é uma constante, igual a :

Se a força cortante é uma constante, o diagrama de esforço cortante vai ser uma reta, assim:

Diagrama de esforço cortante
Diagrama de esforço cortante

Agora vamos praticar com exercícios?

Efeitos Internos de Uma Viga

Diagramas de Momento Fletor e Esforços Cortantes

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine as distribuições da força cortante e do momento fletor produzidos na viga pela carga concentrada. Quais são os valores do cortante e do momento em x = l / 2 ?

Passo 1

Vamos calcular primeiro as reações de apoio no ponto A :

Pelo equilíbrio de forças verticais, temos que:

∑ F y = 0       →       R A - P = 0

R A = P

Agora vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A e considerar o momento positivo girando no sentido anti-horário:

∑ M A = 0       →           M A - P 2 l 3 = 0

M A = 2 P l 3

Pronto, agora já sabemos as reações de apoio.

Passo 2

Vamos agora calcular o cortante e o momento fletor. Para isso, vamos analisar o que acontece quando fazemos um corte na viga um pouco infinitésimo antes de onde está a carga P :

Repare que cortamos a viga em x = 2 l 3 , mas sem pegar a carga P !!!

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - V = 0

V = R A = P

No ponto A da viga temos um cortante que é devido à reação de apoio. Vamos analisar o sinal dos cortantes que temos:

Repare que eles são positivos, pois as setas estão no mesmo sentido do cortante que estabelecemos como positivo.

Agora vamos ver o momento fletor...

Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em x = 2 l 3 :

∑ M x = 2 l 3 = 0       →           M A - R A 2 l 3 - M = 0

2 P l 3 - P 2 l 3 - M = 0       →         M = 0

Então, o momento fletor na seção que cortamos a viga é zero.

Mas no início da viga, ou seja, no ponto A existe um momento fletor que é a nossa reação de apoio devido ao engaste. Vamos analisar o seu sinal:

Repare que o nosso momento gira no sentido contrário do momento fletor que estabelecemos como positivo, então ele é negativo:

M A = - 2 P l 3

Passo 3

Agora vamos cortar a viga um infinitésimo depois do ponto onde está a carga P :

Repare que cortamos a viga em x = 2 l 3 , mas incluindo a carga P !!!

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - P - V = 0

P - P - V = 0       →           V = 0

Ou seja, o cortante é zero um infinitésimo depois da carga P . Isso ocorre porque toda vez que tivermos uma carga concentrada teremos descontinuidade do cortante.

O momento fletor nesta seção vai ser zero também, como já fizemos antes.

Passo 4

Agora vamos fazer analisar o que teremos no final da viga:

Aqui cortamos a viga em x = l .

Note também que surge um momento M e um cortante V na parte da viga que cortamos. Para achar o valor de V podemos fazer o equilíbrio das forças verticais:

∑ F y = 0       →         R A - P - V = 0

P - P - V = 0       →           V = 0

Ou seja, o cortante continua sendo zero nesta parte da viga!

Considerando o momento positivo girando no sentido anti-horário, vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto onde cortamos a viga, ou seja, em x = l

∑ M x = l = 0       →           M A - R A l + P l 3 - M = 0

2 P l 3 - P l + P l 3 - M = 0       →         2 P l 3 - 2 P l 3 - M = 0

  M = 0

Então, o momento fletor no final da viga também é zero.

Passo 5

Agora temos que montar os nossos diagramas. O diagrama de cortante fica assim:

Repare que no ponto onde a carga concentrada está existe uma descontinuidade do cortante!

E o diagrama de momento fletor fica assim:

É só marcarmos os valores que achamos em cada seção que fizemos na viga e ligar os valores.

Passo 6

Agora precisamos saber quanto vale o cortante e o momento fletor em x = l / 2 .

Observando nosso diagrama, em x = l / 2 vamos ter que:

Ou seja, o cortante é:

V = P

Para saber o momento fletor vamos fazer um corte na viga em x = l / 2 :

Agora é só fazermos o somatório de momentos com relação à x = l / 2 :

∑ M x = l 2 = 0       →           M A - R A l 2 - M = 0

2 P l 3 - P l 2 - M = 0       →         M = P l 6

Agora vamos analisar o seu sinal:

Como o momento fletor que achamos gira no sentido contrário ao que consideramos como positivo, então ele é negativo:

M = - P l 6

Resposta

V = P

M = - P l 6

Exercício Resolvido #2

Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga submetida a um momento em sua extremidade. Qual é o valor do momento em uma seção 0,5   m à direita de B ?

Passo 1

Vamos começar achando as reações de apoio e para isso temos que fazer nosso diagrama de corpo livre:

Primeiro vamos calcular o momento com relação ao ponto A .

∑ M A = 0 →   B y 2 - 120 = 0

B y = 60   N

Agora vamos fazer o somatório de forças em cada eixo.

∑ F x = 0   →   A x = 0

∑ F Y = 0   →   60 - A y = 0

A y = 60   N

Passo 2

Não esqueça que quando tem uma força concentrada em um ponto, haverá uma descontinuidade do cortante. E quando há um momento concentrado tem descontinuidade do momento.

Então, neste nosso exercício temos que calcular o cortante e o momento fletor nos pontos A ,   B   e C .

Como teremos dois valores de cortante para um mesmo ponto? Ao fazer uma seção em um ponto onde tem uma força concentrada, não podemos dividir essa força ao meio.

Então, temos que fazer uma seção um tantinho antes ou um tantinho depois do ponto onde está a força. Mas é um tantinho mesmo, um infinitésimo, uma distância desprezível.

Olha o ponto A como fica quando fazemos a seção um infinitésimo antes da reação A y :

Ao escolher a parte 1 , temos que levar todas as forças da parte 2 com seus respectivos momentos até a seção da parte 1 :

O cortante resultante nessa seção será zero e o momento fletor também será zero.

Dizemos que o cortante pela esquerda é zero e o momento fletor, que não tem descontinuidade, também é nulo, logo:

V A e s q = 0

M A = 0

Mas e se escolhermos a parte 2 ? Temos que levar as forças e momentos da parte 1 para a seção da parte 2 . Mas não tem nada na parte 1 para ser levado, certo? Então a parte 2 fica:

Neste caso, o valor do nosso cortante no ponto A   é de 60   N !!!

Percebeu o porquê da descontinuidade? Cada parte que escolho para equilibrar vai dar um valor de cortante diferente. Repare que o momento fletor no ponto A dessa parte 2 também é zero. Ele não muda, porque não tem nenhum momento concentrado neste ponto.

Agora temos que analisar o seu sinal e para isso vamos comparar com o nosso esqueminha de cortante positivo:

A reação A y está apontando para baixo enquanto que a setinha do cortante positivo aponta para cima, ou seja, o nosso cortante no ponto   A é negativo. Dizemos que o cortante pela direita é:

V A d i r = -   60   N

M A = 0

Passo 3

Vamos para o ponto B agora. Neste ponto temos o mesmo problema: uma força concentrada.

Vamos fazer o mesmo procedimento: fazer a seção um tantinho à direita do ponto B , assim:

Repare que a parte 1 ficou com a força B y que está no ponto B e a parte 2 ficou sem essa força. Vamos fazer o equilíbrio da parte 1 primeiro levando a contribuição da parte 2 :

Então, o cortante na seção do ponto B pela esquerda é:

V B e s q = -   60   N

E o momento fletor? Seu valor vai ser 120   N m . Para sabermos o sinal, vamos comparar com o nosso esqueminha de momento positivo:

Portanto, nosso momento fletor vai ser:

M B = -   120   N m

Agora vamos fazer a mesma coisa para a parte 2 . Antes de tudo vamos equilibrar esta parte levando a contribuição da parte 1 :

Agora vamos achar a resultante das forças e momentos:

Perceba que o cortante agora é zero e que o momento fletor continuou o mesmo (já que não tem momento concentrado). Então, pela direita temos:

V B d i r = 0

M B = -   120   N m

Passo 4

Agora vamos para o nosso último ponto, onde está o momento. Como não há nenhuma força neste ponto, não vai ter descontinuidade do cortante. Mas tem um momento concentrado aí, logo teremos uma descontinuidade do momento.

Vamos fazer uma seção um pouquinho à direita do momento de 120   N m , assim:

Temos que equilibrar e achar a resultante na seção de cada uma das partes.

A parte 1 já está equilibrada e não tem nada da parte 2 para levar para esta seção:

Então, pela esquerda:

V c = 0

M C e s q = - 120   N m

Fazendo a mesma coisa para a parte 2 :

Então, pela direita:

V c = 0

M C d i r = 0

Passo 5

Nosso último passo é fazer cada diagrama que nada mais é do que um gráfico de como os esforços internos variam ao longo da viga.

Vamos marcar no gráfico os pontos chaves que achamos.

  • Cortante: perceba que só temos forças concentradas, então o cortante entre o trecho A B - é constante:

  • Momento Fletor: o cortante é a derivada do momento, então se temos o cortante e queremos saber o momento temos que integrar, certo? Portanto, o que é uma reta constante vai virar uma reta que varia linearmente.

Não esqueça que a integral de zero é uma constante!!!

Agora podemos responder qual é o valor do momento em uma seção 0,5   m à direita de B só olhando nosso diagrama de momento fletor:

M = - 120   N m

Resposta

V e r   d i a g r a m a s   a c i m a

M = - 120   N m

Exercício Resolvido #3

Desenhe os diagramas de cortante e de momento para a viga em balanço carregada, para a qual o momento M 1 é ajustado de modo a produzir um momento nulo na extremidade engastada da viga. Determine o momento fletor M   em x = 2 .

Passo 1

Vamos primeiro calcular a força resultante do carregamento distribuído:

F r = 2 4     →         F r = 8   k N

Então, temos o seguinte diagrama de corpo livre:

Repare que a força resultante fica localizada na metade do comprimento do carregamento distribuído, ou seja, a 2   m do engaste!

Vamos primeiro calcular a reação na parte engastada:

∑ F = 0     →       R A - 8 = 0

R A = 8   k N

E quanto vale o momento M 1 ? Vamos fazer o somatório de momentos com relação ao engaste considerando o momento girando no sentido anti-horário como positivo:

M 1 - 8 2 = 0       →       M 1 = 16   k N m

Repare que não colocamos momento como reação no engaste, pois o enunciado disse que o momento deve ser nulo!!!

Passo 2

Agora vamos achar o cortante V . Para isso vamos fazer uma seção em x = 4   m :

Para achar o cortante nesta seção, vamos fazer o somatório de forças verticais:

∑ F = 0     →       R A - 8 - V = 0

8 - 8 - V = 0       →         V = 0

Ou seja, na parte que cortamos a viga o cortante é zero. Mas tem o cortante na parte inicial da viga devido à reação de apoio R A . Vamos analisar seu sinal:

Repare que o cortante é positivo, pois R A aponta no mesmo sentido do cortante positivo.

E o momento fletor M ? Vamos usar o somatório de momentos com relação ao ponto A :

∑ M A = 0       →           M - V 4 - F r 2 = 0

M - 0 4 - 8 2 = 0         →           M = 16   k N m

Vamos analisar seu sinal:

Repare que o momento fletor é positivo!

Passo 3

Agora vamos analisar o que acontece no final da viga:

Para calcular o cortante V é só fazermos o equilíbrio de forças:

∑ F = 0     →       R A - 8 - V = 0

8 - 8 - V = 0       →         V = 0

Ou seja, o cortante continua sendo zero até o final da viga.

Como há um momento concentrado no final da viga, sabemos que vai ter uma descontinuidade do momento fletor. Então vamos analisar qual é o momento fletor um infinitésimo antes do momento M 1 :

Vamos fazer o somatório de momentos com relação ao ponto A :

∑ M A = 0       →           M - V 4 - F r 2 = 0

M - 0 4 - 8 2 = 0         →           M = 16   k N m

E o seu sinal será positivo, pois:

Agora vamos fazer uma seção um infinitésimo depois de do momento M 1 de modo a incluí-lo:

Esse momento fletor pode ser calculado pelo somatório de momentos com relação ao ponto A de novo:

∑ M A = 0       →           M - V 8 - F r 2 + M 1 = 0

M - 0 4 - 8 2 + 16 = 0         →           M = 0  

Ou seja, o momento fletor agora é zero!!!

Passo 4

Agora só falta uma coisinha... Lembra que o cortante é obtido integrando a equação do carregamento que estiver na viga e o momento fletor é obtido integrando a equação do cortante?

Como o carregamento é uma reta constante, o cortante vai ser uma reta que varia linearmente e o momento fletor vai ser uma parábola do segundo grau!

Sabemos que o cortante fica assim:

Vamos achar a equação desta reta. Sabemos que ela terá a seguinte forma:

V = a x + b

Podemos calcular a através da tangente do ângulo de inclinação da reta:

a = 8 4 = 2

Mas repare que a reta está decrescendo, ou seja, o nosso a será negativo:

a = - 2

Quando x = 0 temos que V = 8 , então:

V = a x + b       →         8 = - 2 ( 0 ) + b

b = 8

Ou seja, a equação do cortante é:

V = - 2 x + 8

Agora para achar a equação do momento fletor temos que integrar esta equação ao longo do comprimento da viga:

d M d x = V     →     M = ∫ V d x

M = ∫ 0 x - 2 x + 8 d x       →         M = - x 2 + 8 x

Agora sim podemos desenhar o diagrama do momento fletor:

Passo 5

Quando x = 2 é só substituirmos o valor de x nas equações de cortante e momento fletor que acabamos de achar:

V = - 2 x + 8       →           V = - 2 2 + 8

V = 4   k N

E o momento fletor fica:

  M = - x 2 + 8 x       →       M = - 2 2 + 8 2

M = 12   k N m

Resposta

V e r   d i a g r a m a s   a c i m a

V = 4   k N

M = 12   k N m

Exercício Resolvido #4

Construa os diagramas de cortante e de momento para a viga carregada pelas cargas pontual e distribuída. Quais são os valores do cortante e do momento em x   =   6   m ? Determine o momento fletor máximo M m á x .

Passo 1

Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre e como temos uma carga distribuída, vamos achar a resultante dela:

F R = 800 3 = 2400   N

Agora podemos começar o equilíbrio calculando o momento com relação ao ponto A :

∑ M A = 0 →   B y 9 - 1500 7 - ( 2400 ) ( 3,5 ) = 0

B y = 2100   N

E por fim o somatório de forças em cada eixo:

∑ F x = 0   →   A x = 0

∑ F Y = 0   →   A y -   2400   - 1500 + 2100   = 0

A y = 1800   N

Passo 2

Onde tem reação de apoio tem descontinuidade do cortante, então nos pontos A e B o cortante vai de zero ao valor da reação:

V A e s q =   0     ;     V A d i r =   1800   N

Sendo que no ponto B, a reação aponta no sentido contrário do cortante positivo, então:

V B e s q = -   2100   N     ;     V B d i r =   0

E o momento fletor nesses pontos? Como temos apoios que não impedem a rotação e estão na extremidade da viga sem nenhum momento concentrado sobre eles, então o momento nesses pontos é nulo:

M A = 0     ;     M B = 0

Passo 3

Lembra que se temos a equação do cortante é só derivarmos para achar a equação do carregamento?

ω = - d V d x

Só que não temos a expressão do cortante, pois é justamente o que queremos saber. Mas... temos o carregamento!!!

Nossa carga distribuída é retangular, logo a sua equação é uma constante e vale:

ω = 800

Para achar a equação do cortante a partir dessa equação é só integrarmos e multiplicar por - 1 , assim:

V = - ∫ ω d x → V =   - ∫ 800 d x

V =   - 800 x + C 1

Lembra desse C 1 ? É a nossa constante de integração e temos que colocar toda vez que não temos um intervalo de integração definido.

Para acharmos seu valor, temos que saber quanto vale o cortante x   =   2   m , ou seja, bem onde começa a carga distribuída, porque é fácil sabermos o cortante neste ponto.

Repare que do ponto A até o ponto C 1 não há mais nenhuma força, então o cortante neste trecho é constante e vale o mesmo valor do cortante em A pela direita.

Então, quando x   =   2   m   → V = 1800   N . Vamos substituir isto na fórmula de V que achamos:

1800 =   - 800 ( 2 ) + C 1

C 1 = 3400

Então, a expressão do cortante para o trecho de carga distribuída é:

V =   - 800 x + 3400

Passo 4

Então, quanto vale o cortante no ponto D ? É só substituirmos o valor de x   =   5   m :

V D =   - 800 5 + 3400

V D =   - 600   N

Perceba que no trecho entre os pontos D e E não tem nada, então o cortante é constante neste trecho e com o valor de V D =   - 600   N . Então, ao fazer uma seção no ponto E :

Qual é a resultante do cortante neste ponto, então?

V E =   - 600 - 1500 → V E = - 2100   N

Passo 5

Lembra que derivando a equação do momento fletor obtemos a equação do cortante? Então, vamos fazer o processo inverso já que temos a expressão do cortante para o trecho C D - .

V = d M d x     →   M = ∫ V d x

M C D - = ∫ - 800 x + 3400 d x

M C D - = - 400 x 2 + 3400 x + C 2

Para achar o valor da constante C 2 temos que saber quanto vale o momento fletor em

x   =   2   m , que é um ponto fácil de calcular:

M A y = 1800 2 =   3600   N m

Então, o momento fletor no ponto C é:

M C = +   3600   N m

Quando x   =   2   m → M C = +   3600   N m , vamos substituir isso na equação M C D - :

  3600 = - 400 2 2 + 3400 ( 2 ) + C 2

C 2 =   - 1600

Então, a equação do momento fletor no trecho C D - é:

M C D - = - 400 x 2 + 3400 x - 1600

Passo 6

Para saber o momento fletor no ponto D é só substituir x   =   5   m na equação do momento:

M D = - 400 5 2 + 3400 ( 5 ) - 1600

M D = -   5400   N m

Passo 7

Para calcular o momento fletor no ponto E , é só vermos o momento que a reação A y e a força resultante F R   faz com relação a este ponto:

M A y = 1800 7 =   12600   N m

M F R = 2400 3,5 =   8400   N m

Então, o momento fletor no ponto E   é :

M E =   +   4200   N m

Passo 8

O nosso diagrama do cortante, vai ficar:

O diagrama de momento fletor, vai ficar assim:

Passo 9

Feito os diagramas, podemos responder quais são os valores do cortante e do momento em

x   =   6   m .

O cortante será:

V =   - 600   N

Para sabermos o momento, vamos achar a equação da reta naquele trecho D E - . Sabemos que é uma equação do primeiro grau da forma: y   =   -   a x   +   b e que quando:

  • x   =   5   m → M D = +   5400   N m
  • x   =   7   m → M E = +   4200   N m