Enunciado

195- A cabana do tipo Quonset está submetida a um vento horizontal e a pressão p contra o telhado circular pode ser aproximada por p o cos ⁡ θ . A pressão é positiva no lado da cabana exposto ao vento e é negativa no lado oposto. Determine, por unidade de comprimento do telhado medido normalmente ao plano do papel, o cisalhamento horizontal Q nas fundações.

Passo 1

A pressão p o gera uma força na horizontal e outra na vertical e outra na horizontal, como a questão somente está interessado na horizontal então temos que o vetor p gerará uma componente na horizontal igual a:

p x = p 0 cos ⁡ θ × cos ⁡ θ = p 0 cos 2 ⁡ θ

Passo 2

Considerando F R como a componente total de todas as forças na cabana nós iremos ter o seguinte diagrama de forças.

F R = Q

Onde F R é a somatória de todas as forças horizontais causadas pela pressão normal a cabana.

Passo 3

Normalmente a força pode ser referenciada como:

P = F A → F = P A

Porém nesse caso temos a pressão incidindo em cima de um arco de circunferência o que pode deixar a equação escrita como:

F = P L

Onde L é o valor do comprimento do arco, e o comprimento de um arco de circunferência pode ser escrito como:

L = θ r

Onde θ é o ângulo de abertura dessa circunferência, o que deixa nossa equação como:

F = P θ r

Porém o nosso vetor anda sobre essa circunferência um ângulo pequeno de cada vez deixando nossa força como:

F = ∫ Pr ⁡ d θ

Om θ variando de 0 até π .

Substituindo o valor de P pelo valor que encontramos nos passo 1 nós teremos:

F = ∫ 0 π p o cos 2 ⁡ θ r d θ

Passo 4

Como temos as relações trigonométricas abaixo:

cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1

cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x = cos ⁡ 2 x

Logo:

cos 2 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 x 2

Então nossa integral fica:

Q = F r = p o r ∫ 0 π 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

O que dá pela regra da substituição:

Q = p o r θ 2 + sin ⁡ 2 θ 4 0 π

Aplicando o intervalo:

Q = p 0 r π 2 + 0 - 0

Q = π p o r 2

Resposta

Q = π p o r 2

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Determine a intensidade da força resultante e sua direção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo.
Expresse F1 e F2 como vetores cartesianos.
Determine a intensidade da força resultante e sua direção, medida em sentido anti-horário a partir do eixo positivo x .
Determine a intensidade e a orientação, medida no sentido anti-horário a partir do eixo y positivo, da força resultante que atua no suporte, se FB = 600 N e θ=20 ° .
Se F1 = 300 N e θ=10 ° , determine a intensidade da força resultante que atua sobre o suporte e sua direção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo positivo x’.