Enunciado

36. Para o sistema massa-mola amortecido mostrado, determine o coeficiente de amortecimento viscoso para o qual ocorrerá um amortecimento crítico

Passo 1

Vamos fazer a representação esquemáticas das forças que estão agindo na polia que sustenta o nosso bloco de 200   k g :

Como o bloco está sujeito a ação da polia, que por sua vez tem o dobro da força elástica provocada pela mola, já temos que o nosso sisteminha de interesse, experimenta uma constante elástica de 2 k , considerado é claro, k como a constante da mola, de 2   k N / m .

Só que tem uma mágica por trás dessa questão. A nossa polia acima, se você observar bem, a corda que por ela passa, irá percorrer o dobro de distância do que as demais polias.

Ou seja, se nossa polia estava sujeita a uma força de 2 k   vezes o deslocamento, e agora já sabemos que o deslocamento experimentado é de 2 x , é como se a força total que o bloco vai experimentar fosse dada por 4 k x , ou seja:

F e l á s t i c a   t o t a l = 4 k x

F e l á s t i c a   t o t a l = ( 8 ⋅ 10 3   N / m )   x

E a nossa constante equivalente   k e q , é de :

k e q = 8 ⋅ 10 3   N / m

Passo 2

Se já Temos a constante equivalente k e q do nosso sisteminha, igual a 8   k N / m e a massa m do bloco. O que isso quer dizer?

Ora bolas, quer dizer que já podemos determinar a frequência angular natural ω n do nosso sistema, a qual é dada pela relação abaixo:

ω n = k e q m

Substituindo os valores numéricos adequados, chegamos ao seguinte valor:

ω n = 8000   N / m 200   k g

ω n = 2 10   r a d / s

Passo 3

Obtida a frequência natural do sistema, basta agora utilizar a condição para que ocorra amortecimento crítico. Não lembra! Vou refrescar sua memória!

Ocorre amortecimento crítico em um sistema, quando o seu fator de amortecimento ξ , é exatamente igual a 1 :

E para nossa alegria o fator de amortecimento está relacionado ao coeficiente de amortecimento viscoso c pela seguinte fórmula:

ξ = c 2 m ω n

Sabendo que ξ = 1 e conhecendo os valores da outras variáveis, alcançamos nosso resultado:

1 = c 2 ( 200   k g ) ( 2 10   r a d / s   )

c ≅ 2 ( 35   k g ) ( 2 10 r a d / s )

c ≅ 2530   N ⋅ s m

Resposta

c ≅ 2530   N ⋅ s m

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