Enunciado

Determine a força normal interna, o esforço cortante e o momento no ponto C da viga com dupla extremidade em balanço.

Passo 1

Para determinar o que se pede, deve-se fazer o diagrama de corpo livre da viga para que seja possível determinar alguma reação externa ao apoio da viga. Após isso, deve-se seccionar o corpo nos pontos de referência e fazer a análise dessas seções, ou seja, fazer a análise das reações internas do sistema.

Passo 2

Logo, fazendo o DCL de toda a viga e indicando as forças e reações agindo em sua superfície tem-se:

Lembrando que a força resultante gerada por um carregamento triangular é dado por:

F R = 1 2 w x

E que a posição do centroide desse mesmo carregamento é:

x ¯ = b 3

Então, para o primeiro carregamento teremos:

F R 1 = 1 2 3 4,5 = 6,75   k N

E:

x ¯ 1 = 4,5 3 = 1,5 m

Enquanto que para a segunda carga distribuída será obtido:

F R 2 = 1 2 3 1,5 = 2,25   k N

E:

x ¯ 2 = 1,5 3 = 0,5 m

Passo 3

Com os valores das forças definidas se torna possível encontrar o valor de algumas reações sobre a viga. Para tanto, pode-se aplicar o princípio dos momentos em relação ao ponto B considerando que o momento seja positivo no sentido anti-horário, tal que:

∑ M B = 0 ⇒ F R 1 x ¯ 1 - A y 3 - F R 2 x ¯ 2 = 0

A y = 6,75 1,5 - 2,25 0,5 3

A y = 3   k N

E fazendo o somatório de forças no eixo x :

∑ F x = 0 ⇒ A x = 0

Passo 4

Em seguida, pode-se fazer um “corte” no ponto C que terá uma de suas seções analisadas.

Logo, fazendo o DCL da seção à esquerda de C e mostrando as forças e reações aplicadas, tem-se que:

Como o comprimento da seção diminuiu, o valor da força resultante gerada pela carga distribuída é alterado. No entanto, como temos o valor da carga apenas na extremidade direita, deve-se perceber que a carga é linear e, portanto, o seu valor varia linearmente. Portanto:

Então:

w ' 3 = 3 4,5 ∴ w ' = 2   k N / m

E, portanto, a nova força resultante gerada por essa carga será de:

F R 1 ' = 1 2 2 3 = 3   k N

E:

x ¯ ' 1 = 3 3 = 1 m

Passo 5

Então, voltando ao DCL da seção em questão e aplicando as equações de equilíbrio obtém-se para o eixo x :

→ ∑ F x = 0 ⇒ N C + A x = 0

N C = 0

Para o eixo y :

↑ ∑ F y = 0 ⇒ A y - V C - F R 1 ' = 0

V C = 3 - 3

V C = 0

E, aplicando o princípio dos momentos em relação ao ponto C e considerando o sentido anti-horário como sendo positivo:

∑ M C = 0 ⇒ M C + F R 1 ' x ¯ ' 1 - A y 1,5 = 0

M C = 3 1,5 - 3 1

M C = 1,5   k N ∙ m

Resposta

N C = 0

V C = 0

M C = 1,5   k N ∙ m

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