Enunciado

Determine se o sistema de forças e binários mostrado na figura pode ser reduzido a uma força única equivalente R . Se for o caso, determine R e o ponto em que a linha de ação de R intercepta o plano y z . Caso contrário, substitua o sistema dado por um torsor equivalente e determine sua resultante, seu passo e o ponto em que seu eixo intercepta o plano y z .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos normalizar o vetor D A . Basta dividir cada componente do vetor pelo seu comprimento. O comprimento do vetor D A é dado pela raiz das somas dos componentes ao quadrado.

D A = - 0,3 2 + 0,225 2 + 0,2 2

D A = 0,425   m

Agora vamos normalizar:

λ = D A D A

λ D A = - 0,3 i + 0,225 j + 0,2 k 0,425

A força a representada vetorialmente, será:

F a = 150 - 0,3 i + 0,225 j + 0,2 k 0,425

Passo 2

Vamos fazer o mesmo passo para os seguimentos E D e A K para representar a força b e o momento na forma vetorial:

E D = - 0,15 2 + 0 2 + - 0,2 2

E D = 0,25   m

Agora vamos normalizar:

λ E D = E D E D

λ E D = - 0,15 i - 0,2 k 0 , 25

A força b representada vetorialmente, será:

F b = 1 2 0 - 0,15 i - 0,2 k 0,25

Para o segmento A K , temos:

A K = - 0,15 2 + - 0 , 15 2 + 0,45 2

A K = 0,497   m

Agora vamos normalizar:

λ A K = A K A K

λ A K = - 0,15 i - 0 , 15 j + 0 , 45 k 0,497

O momento representado vetorialmente, será:

M = 18 - 0,15 i - 0 , 15 j + 0 , 45 k 0,497

Passo 3

A resultante é dada então, por:

R = ∑ F

R = F a + F b

R = 150 - 0,3 i + 0,225 j + 0,2 k 0,425 + 120 - 0,15 i - 0,2 k 0,25

R = - 33,88 i + 79,41 j - 25,41 k

A intensidade da resultante será:

R = - 33,88 2 + 79,41 2 + - 25,41 2

R = 90   N

Passo 4

O torsor equivalente é calculado ao fazer o produto vetorial dos vetores que ultrapassam a distância das linha de ação das forças ao ponto O . Somados aos torsores iniciados:

M O = ∑ F × d + ∑ M

Substituindo os valores, temos:

M O = 150 - 0,3 i + 0,225 j + 0,2 k 0,425 × 0 i + 0,3 j + 0,2 k + 120 - 0,15 i - 0,2 k 0,25 × 0 , 2 i + 0 , 75 j + 0 k + 18 - 0,15 i - 0 , 15 j + 0 , 45 k 0,497

M O = 61,2 i - 3,45 j + 38,5 k

Para que as forças originais possam ser reduzidas a uma força única, R e M devem ser perpendiculares. Ou seja, o produto vetorial entre R e M deve ser zero:

R → ⋅ M → = 0

- 33,88 i + 79,41 j - 25,41 k ⋅ 61,2 i - 3,45 j + 38,5 k = 0

Fazendo os cálculos obtemos:

- 3329,08 ≠ 0

Portanto, o sistema não pode ser reduzido ao vetor R .

Resposta

O sistema não pode ser reduzido ao vetor R .

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