Enunciado

Um eixo é submetido a um torque T . Compare a efetividade da utilização do tubo mostrado na figura com a de uma seção maciça de raio c . Para isso, calcule o aumento percentual na tensão de torção e no ângulo de torção por unidade de comprimento para o tubo em comparação com o da seção maciça.

Passo 1

Oi, galerinha! Vamos lá responder essa questão?

Para fazer a comparação da efetividade da utilização do tubo com relação a seção maciça, calcularemos a tensão de torção em ambos.

Para a seção maciça, temos que:

τ m a c i ç a = T c J

O momento polar de inércia, J , é dado por:

J m a c i ç a = π 2 ⋅ c 4

Substituindo J na fórmula da tensão e simplificando, obtemos então:

τ m a c i ç a = 2 T π c 3

Passo 2

Para o tubo, a tensão de torção é calculada da mesma forma, lembrando que c , nesse caso, é o raio externo.

τ t u b o = T c J

Chamando de c i o raio interno, temos que J é dado por:

J t u b o = π 2 ⋅ c 4 - c i 4

No desenho, nos é fornecida a informação de que

c i = c 2

Substituindo c i em J , temos:

J t u b o = π 2 ⋅ c 4 - c 2 4

J t u b o = π 2 ⋅ c 4 - c 4 16

J t u b o = π c 4 2 - π c 4 32

J t u b o = 15 π c 4 32

Fazendo a substuição de J na fórmula da tensão e simplificando, temos:

τ t u b o = T c 15 π c 4 32

τ t u b o = 32 T 15 π c 3

Passo 3

Agora, vamos calcular o aumento percentual na tensão de torção do tubo em relação à seção maciça.

Chamaremos esse aumento percentual de x t e n s ã o .

x t e n s ã o = τ t u b o - τ m a c i ç a τ m a c i ç a ⋅ 100 %

x t e n s ã o = τ t u b o τ m a c i ç a - 1 ⋅ 100 %

Substituindo os valores das tensões e simplicando:

x t e n s ã o = 32 T 15 π c 3 2 T π c 3 - 1 ⋅ 100 %

x t e n s ã o = 16 15 - 1 ⋅ 100 %

x t e n s ã o = 6,67 %

Passo 4

O problema nos pede também o aumento percentual no ângulo de torção do tubo em comparação ao eixo maciço.

Como a variação do ângulo de torção é proporcional à tensão de torção, concluímos que:

x â n g u l o = x t e n s ã o = 6,67 %

Resposta

x t e n s ã o = 6,67 %

x â n g u l o = 6,67 %

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