Enunciado

Na figura é mostrado um pequeno elevador industrial com um pé de liberação. Existem quatro molas idênticas, duas de cada lado do eixo central. A rigidez de cada par de molas é de 2k. Ao projetar a elevação, especifique o valor de k que garantirá um equilíbrio estável quando a elevação suportar uma carga (peso) L na posição onde θ = 0 sem força P no pedal. As molas são igualmente pré-comprimidas inicialmente e pode-se presumir que atuam sempre na direção horizontal.

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de força ativa

Como somos obrigados a determinar k, que garantirá a estabilidade sem nenhuma força atuando no pedal, podemos desprezar a força P, também podemos desprezar os pesos, uma vez que não temos informações sobre ela. Sabendo disso, podemos escrever a equação de equilíbrio como

δ U = δ V δ U L = δ V e (1)

Podemos ver no esboço que as distâncias x e y são

x = l s i n ⁡ θ y = 2 l c o s ⁡ θ

Embora a mudança no comprimento das molas A e B sejam

x A = δ + x = δ + l s i n ⁡ θ

x B = δ - x = δ - l s i n ⁡ θ

Passo 2

Trabalho virtual feito pela força F

U L = L y

Substituiremos y  por  2 l cos ⁡ θ

U L = 2 L l c o s ⁡ θ

Derivamos ambos lados da equação

δ U L = - 2 L l s i n ⁡ θ δ θ (2)

Uma vez que temos dois pares de molas presas ao sistema, ambos com rigidez 2k, podemos escrever a expressão para energia potencial elástica como

V e = 1 2 ⋅ 2 k x A 2 + x B 2

Substituiremos XA e XB por s δ + l s i n ⁡ θ  e  δ - l s i n ⁡ θ , respectivamente

V e = k ( δ + l s i n ⁡ θ ) 2 + ( δ - l s i n ⁡ θ ) 2 V e = k 2 δ 2 + 2 l 2 s i n 2 ⁡ θ V e = 2 k δ 2 + l 2 s i n 2 ⁡ θ

Derivaremos ambos lados da equação

δ V e = 2 k l 2 ( 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ ) δ θ δ V e = 4 k l 2 ( s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ ) δ θ (3)

Passo 3

A seguir, substituiremos δUL e δVe pelas expressões (2) e (3) na equação de equilíbrio (1)

- 2 L l s i n ⁡ θ δ θ + 4 k l 2 ( s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ ) δ θ = 0   / ⋅ 1 2 l δ θ

Podemos dividir ambos os lados da equação por 2lδθ

- L s i n ⁡ θ + 2 k l ( s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ ) = 0

Observe que o sistema é estável quando a segunda derivada da equação de equilíbrio é maior que zero

( - L s i n ⁡ θ + 2 k l ( s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ ) ) d V d θ > 0 - L c o s ⁡ θ + 2 k l c o s 2 ⁡ θ - s i n 2 ⁡ θ > 0

Para verificar a estabilidade da posição θ = 0, vamos simplesmente colocar o valor de θ em (4)

( - L s i n ⁡ θ + 2 k l ( s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ ) ) d V d θ > 0 - L c o s ⁡ θ + 2 k l c o s 2 ⁡ θ - s i n 2 ⁡ θ > 0 (4)

Para verificar a estabilidade da posição θ = 0, vamos simplesmente colocar o valor de θ em (4)

- L c o s ⁡ 0 ∘ + 2 k l c o s 2 ⁡ 0 ∘ - s i n 2 ⁡ 0 ∘ > 0 - L + 2 k l > 0

A partir daqui, podemos expressar a rigidez da mola k como

k > L 2 l

Resposta

k > L 2 l

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