Exercícios Resolvidos de Medidas de Assimetria e Curtose

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Enunciado

Um levantamento foi realizado para se avaliar, por município, a quantidade X de obras que estão sob suspeita de irregularidade. Com base em uma amostra de municípios, foi obtida a distribuição de frequências mostrada na tabela abaixo.

Julgue a assimetria desta distribuição.

Passo 1

Podemos começar ilustrando esses dados aí num diagrama de frequências, colocando os valores de X no eixo horizontal e as frequências absolutas no eixo vertical:

Opa! Só olhando pra esse gráfico já tá na cara que a distribuição não é simétrica. Reparou que a moda, ou seja, a maior frequência, não tá centralizada? Isso aí por si só já é uma prova.

Passo 2

Mas vamos quantificar o quão assimétrica ela é calculando o coeficiente de Pearson:

A = x - - M o s

Podemos começar calculando a média amostral, que é dada por:

x - = ∑ x i f i r

Onde f i r é a frequência relativa de cada x i , que é dada por:

f i r = f i n

Onde f i é a frequência absoluta e n é o número total de frequências. Para calcular n basta somarmos todas as frequências dadas na tabela:

n = 80 + 47 + 30 + 20 + 6 + 1 = 184

Então agora podemos calcular a média:

x - = ∑ x i f i r = x - = ∑ x i f i n

x - = 0 80 184 + 1 47 184 + 2 30 184 + 3 20 184 + 4 6 184 + 5 1 184 = 1,065

Agora podemos calcular o desvio padrão:

s = ∑ f i ( x i - x - ) ² n - 1

Lembrando que aqui temos esse f i aí dentro por que os dados tem frequência diferente de 1!

= 80 0 - 1,065 2 + 47 1 - 1,065 2 + 30 2 - 1,065 2 + 20 3 - 1,065 2 + 6 4 - 1,065 2 + 1 5 - 1,065 2 184 - 1

s = 0,960

E a moda é o X com maior frequência absoluta, ou seja x = 0 . Agora podemos calcular o coeficiente substituindo os valores:

A = 1,065 - 0 0,960 = 1,109

Opa, e quando nosso A é maior que 1 , vimos que temos uma assimetria positiva forte!

Resposta

Assimetria positiva forte

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