Considere o seguinte sistema linear

5 x + 5 y = 15 2 x + 4 y + z = 10 3 x + 4 y = 11

Utilizando o método da Eliminação de Gauss, qual é a solução sistema?

  1. x , y , z = 1,2 , 0
  2. x , y , z = 0,2 , 1
  3. x , y , z = 1,2 , 1
  4. x , y , z = 2,2 , 0
  5. x , y , z = 1,1 , 2

Passo 1

Fala Aíí!!! Vamos utilizar o método da Eliminação de Gauss para tentar encontrar a solução do problema.

O primeiro passo é representar esse sistema em forma de matriz:

Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

5 5 0 2 4 1 3 4 0 x y z = 15 10 11

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

5 5 0 2 4 1 3 4 0 15 10 11

Beleza?!

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Vamos encontrar o pivô da primeira linha.

Não sabe o que significa o pivô???? Calmaaa!! Pivô nada mais é do que o primeiro elemento não nulo da linha. Ou seja, na primeira linha será o número 5:

5 5 0 2 4 1 3 4 0 15 10 11

Show de bola?! Agora vamos às continhas pra zerar os números embaixo desse pivô!

5 5 0 2 4 1 3 4 0 15 10 11

L 2 ← L 2 - 2 5 L 1 :

5 5 0 0 2 1 3 4 0 15 4 11

L 3 ← L 3 - 3 5 L 1 :

5 5 0 0 2 1 0 1 0 15 4 2

Agora vamos para o segundo pivô (primeiro elemento não nulo da segunda linha)

5 5 0 0 2 1 0 1 0 15 4 2

Para zerar o elemento abaixo dele, basta fazermos

L 3 ← L 3 - 1 2 L 2 :

5 5 0 0 2 1 0 0 - 1 2 15 4 0

Beleza?! Então já conseguimos zerar os elementos abaixo dos pivôs!

Passo 3

Fase 2Voltar pra forma de sistema:

Pegando a nossa matriz

5 5 0 0 2 1 0 0 - 1 2 15 4 0

E passando para a forma de sistema, temos

5 x + 5 y = 15 2 y + z = 4 - 1 2 z = 0      

Assim,

Da equação 3 do sistema acima, obtemos

z = 0

Da equação 2 do sistema, obtemos

y = 2

Da equação 1 do sistema, obtemos

x = 1

Ou seja, a nossa solução é

x , y , z = 1,2 , 0

Letra A!!!

Resposta

L e t r a   A ‼

Exercícios Resolvidos de Método de Eliminação de Gauss