Exercícios Resolvidos de Método de Newton

Lista de Sistemas Não Lineares – UNICAMP – Questão 1

Se aplicarmos o método de Newton para sistemas não lineares para resolver um sistema linear A x = b ,   A ∈ R n × n ,   x , b ∈ R n , em quantas iterações o método irá convergir? Justifique sua resposta.

Passo 1

-

Eaí, alguma ideia? É, eu também não :p

Bom, só tem um jeito de descobrir então né! Vamos aplicar o método em um sistema linear e ver no que dá:

α 11 α 12 ⋯ α 1 n α 21 α 22 ⋯ α 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α n 1 α n 2 ⋯ α n n x 1 x 2 ⋮ x n = b 1 b 2 ⋮ b n

Isso nos deixa com um sistema do tipo:

α 11 x 1 + α 12 x 2 + … + α 1 n x n - b 1 = 0 α 2 1 x 1 + α 2 2 x 2 + … + α 2 n x n - b 2 = 0 ⋮ α n 1 x 1 + α n 2 x 2 + … + α n n x n - b n = 0

Onde:

F x = α 11 x 1 + α 12 x 2 + … + α 1 n x n - b 1 α 21 x 1 + α 22 x 2 + … + α 2 n x n - b 2 ⋮ α n 1 x 1 + α n 2 x 2 + … + α n n x n - b n

A matriz Jacobiana ia ficar:

α 11 α 12 ⋯ α 1 n α 21 α 22 ⋯ α 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α n 1 α n 2 ⋯ α n n

E para qualquer aproximação x 0 que usarmos, teremos:

F x 0 = α 11 α 12 ⋯ α 1 n α 21 α 22 ⋯ α 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α n 1 α n 2 ⋯ α n n x 1 0 x 2 0 ⋮ x n 0 - b 1 b 2 ⋮ b n

Assim, o sistema J x 0 s 0 = - F x 0 vai ficar:

α 11 α 12 ⋯ α 1 n α 21 α 22 ⋯ α 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α n 1 α n 2 ⋯ α n n s 1 0 s 2 0 ⋮ s n 0 = b 1 b 2 ⋮ b n - α 11 α 12 ⋯ α 1 n α 21 α 22 ⋯ α 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α n 1 α n 2 ⋯ α n n x 1 0 x 2 0 ⋮ x n 0

Se multiplicarmos J - 1 x 0 nos dois lados:

s 1 0 s 2 0 ⋮ s n 0 = α 11 α 12 ⋯ α 1 n α 21 α 22 ⋯ α 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α n 1 α n 2 ⋯ α n n - 1 b 1 b 2 ⋮ b n - x 1 0 x 2 0 ⋮ x n 0

Lembrando que α 11 α 12 ⋯ α 1 n α 21 α 22 ⋯ α 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α n 1 α n 2 ⋯ α n n - 1 b 1 b 2 ⋮ b n é a própria solução do sistema linear! Então:

s 1 0 s 2 0 ⋮ s n 0 = x 1 x 2 ⋮ x n - x 1 0 x 2 0 ⋮ x n 0

Logo, teremos que:

x 1 = x 0 + s 0 = x 1 0 x 2 0 ⋮ x n 0 + x 1 x 2 ⋮ x n - x 1 0 x 2 0 ⋮ x n 0 = x 1 x 2 ⋮ x n

Ou seja, sempre encontraremos a solução na primeira iteração!

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