Exercícios Resolvidos de Método de Newton

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Enunciado

1. Dada a tabela de pontos abaixo, determine o polinômio interpolador usando os métodos de (a) Newton e (b) Lagrange. Os polinômios encontrados foram diferentes? Justifique sua resposta.

Passo 1

Falaaaa, rapaziada, beleza? Mais uma provinha de cálculo numérico! Hoje vamos rever um assunto muuuuito importante, a interpolação polinomial!

Podemos usar diferentes métodos para fazer uma interpolação, mas todos eles partem de um conjunto de pontos. Além disso, para n + 1 pontos, encontramos um polinômio de grau menor ou igual a n . Você pode até pensar: Mas por que? E aí é só lembrar da reta! Precisamos de apenas dois pontos para definir sua equação, que nada mais é do que um polinômio de primeiro grau ;)

Neste exercício temos 3 pontos tabelados, x 1 = - 1 ,   x 2 = 0 e x 3 = 1 , onde f ( x 1 ) = - 3 ,   f ( x 2 ) = - 2 e f ( x 3 ) = - 1 . Logo, o polinômio interpolador P ( x ) terá grau menor ou igual à 2, ou seja, P ( x ) = a 0 + a 1 ⋅ x + a 2 ⋅ x 2 .

Vamos começar pelo método de Newton, beleza?

Passo 2

No método de Newton, o polinômio terá a seguinte forma: P ( x ) = a 0 + a 1 ⋅ ( x - x 0 ) + a 2 ⋅ ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) . Para determinarmos as constantes a 0 ,   a 1   e a 2 , devemos resolver o seguinte sistema linear:

Substituindo as variáveis, obtemos o seguinte sistema:

Logo, a 0 = - 3 ,   a 1 = - 2 - ( - 3 ) = 1 e a 2 = 1 2 ⋅ [ - 1 - 2 ⋅ 1 - ( - 3 ) ] = 0 . Substituindo na equação de P ( x ) , obtemos:

P ( x ) = a 0 + a 1 ⋅ ( x - x 0 ) + a 2 ⋅ ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) =

- 3 + 1 ⋅ ( x - ( - 1 ) ) + 0 ⋅ ( x - ( - 1 ) ) ⋅ ( x - 0 ) =

- 3 + ( x + 1 ) = x - 2

E é isso, galera! Suave, né? Vamos então para o método de Lagrange?

Passo 3

Bem galera, o polinômio também segue uma equação no método de Lagrange, P ( x ) = f ( x 0 ) ⋅ L 0 ( x ) + f ( x 1 ) ⋅ L 1 ( x ) + f ( x 2 ) ⋅ L 2 ( x ) , em que:

L 0 ( x ) = ( x - x 1 ) ( x - x 2 ) ( x 0 - x 1 ) ( x 0 - x 2 ) = ( x - 0 ) ( x - 1 ) ( - 1 - 0 ) ( - 1 - 1 ) = x ( x - 1 ) 2

L 1 ( x ) = ( x - x 0 ) ( x - x 2 ) ( x 1 - x 0 ) ( x 1 - x 2 ) = ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 1 ) = - ( x 2 - 1 )

e L 2 ( x ) = ( x - x 0 ) ( x - x 1 ) ( x 2 - x 0 ) ( x 2 - x 1 ) = ( x + 1 ) ( x - 0 ) ( 1 + 1 ) ( 1 - 0 ) = x ( x + 1 ) 2

Substituindo na equação de P ( x ) , obtemos:

P ( x ) = - 3 ⋅ x ( x - 1 ) 2 - 2 ⋅ [ - ( x 2 - 1 ) ] - 1 ⋅ x ( x + 1 ) 2 = x - 2

E essa foi justamente a resposta obtida pelo método de Newton! Isso acontece pois todos os pontos tabelados são diferentes, e como os métodos são baseados em resolução de sistemas, a solução é única.

Resposta

Os polinômios encontrados foram iguais, pois a tabela apresenta um conjunto de pontos distintos, isto é, a solução dos métodos é única.

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