Exercícios Resolvidos de Método de Newton

Lista de Sistemas Não Lineares – UNICAMP – Questão 2

Considere o sistema não linear

e x 1 - 1 = 0 e x 2 - 1 = 0

que tem como solução x 1 = x 2 = 0 .

a Verifique que a matriz Jacobiana é invertível em x = 0,0 T

b Resolva esse sistema através do método de Newton com x 0 = - 10 , - 10 T

Passo 1

a Calculando a matriz Jacobiana temos:

J x = f 1 x x 1 f 1 x x 2 f 2 x x 1 f 2 x x 2 = e x 1 0 0 e x 2

Em 0,0 T , temos:

J = 1 0 0 1

Que não só é invertível, mas tem como inversa ela mesma, já que é a matriz identidade. Então está verificado haha.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Iteração 1:

Calculando J x 0 e F x 0 com x 0 = - 10 , - 10 T :

J x 0 = e - 10 0 0 e - 10

F x 0 = e - 10 - 1 e - 10 - 1

Resolvemos o sistema J x 0 s 0 = - F x 0 :

e - 10 0 0 e - 10 s 1 0 s 2 0 = 1 - e - 10 1 - e - 10

Chegando em:

s 0 = e 10 - 1 e 10 - 1 T

Então,

x 1 = x 0 + s 0 = - 10 - 10 + e 10 - 1 e 10 - 1 = e 10 - 11 e 10 - 11

Que é um número estupidamente grande né? Isso aconteceu porque a matriz Jacobiana avaliada no ponto inicial - 10 , - 10 era praticamente igual a matriz nula né? Eu diria que e - 10 é bem próximo de zero haha.

E lembra que quando a matriz Jacobiana se iguala a zero temos uma matriz singular e não podemos continuar com o método? Então, foi exatamente isso que aconteceu aqui ;)

Resposta

Não podemos resolver o problema, pois J - 10 , - 10 é muito próximo da matriz nula.

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