Exercícios Resolvidos de Método de Newton

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 644, exercício 1.

Use o método de Newton com x 0 = 0 para calcular x 2 nos sistemas não-lineares abaixo:

a 4 x 1 2 - 20 x 1 + 1 4 x 2 2 + 8 = 0 1 2 x 1 x 2 2 + 2 x 1 - 5 x 2 + 8 = 0

b sin 4 π x 1 x 2 - 2 x 2 - x 1 = 0 4 π - 1 4 π e 2 x 1 - e + 4 e x 2 2 - 2 e x 1 = 0

c x 1 1 - x 1 + 4 x 2 = 12 x 1 - 2 2 + 2 x 2 - 3 2 = 25

d 5 x 1 2 - x 2 2 = 0 x 2 - 0.25 sin x 1 + cos x 2 = 0

Passo 1

a Beleza, temos que:

F x = 4 x 1 2 - 20 x 1 + 1 4 x 2 2 + 8 1 2 x 1 x 2 2 + 2 x 1 - 5 x 2 + 8

Primeiro precisamos encontrar a matriz Jacobiana!

J x = f 1 x x 1 f 1 x x 2 f 2 x x 1 f 2 x x 2 = 8 x 1 - 20 x 2 2 x 2 2 2 + 2 x 1 x 2 - 5

Iteração 1:

Agora calculamos J x 0 e F x 0 com x 0 = 0 :

J x 0 = - 20 0 2 - 5

F x 0 = 8 8

Resolvemos o sistema J x 0 s 0 = - F x 0 :

- 20 0 2 - 5 s 1 0 s 2 0 = - 8 - 8

Chegando em:

s 0 = 0.4 1.76 T

Então,

x 1 = x 0 + s 0 = 0 0 + 0.4 1.76 = 0.4 1.76

Normalmente agora seria a hora de testarmos o critério de parada, mas como a questão só pede para encontrarmos x 2 vamos continuar!

Iteração 2:

Calculando J x 1 e F x 1 :

J x 1 = - 16.8 0.88 3.55 - 4.3

F x 1 = 1.41 0.62

Resolvemos o sistema J x 1 s 1 = - F x 1 :

- 16.8 0.88 3.55 - 4.3 s 1 1 s 2 1 = - 1.41 - 0.62

Chegando em:

s 1 = 0.096 0.223 T

Então,

x 2 = x 1 + s 1 = 0.4 1.76 + 0.096 0.223 = 0.496 1.983

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Agora temos:

F x = sin 4 π x 1 x 2 - 2 x 2 - x 1 4 π - 1 4 π e 2 x 1 - e + 4 e x 2 2 - 2 e x 1

Primeiro encontramos a matriz Jacobiana:

J x = f 1 x x 1 f 1 x x 2 f 2 x x 1 f 2 x x 2 = 4 π x 2 cos 4 π x 1 x 2 - 1 4 π x 1 cos 4 π x 1 x 2 - 2 4 π - 1 2 π e 2 x 1 - 2 e 8 e x 2

Iteração 1:

Agora calculamos J x 0 e F x 0 com x 0 = 0 :

J x 0 = - 1 - 2 - 3.596 0

F x 0 = 0 - 1.582

Resolvemos o sistema J x 0 s 0 = - F x 0 :

- 1 - 2 - 3.596 0 s 1 0 s 2 0 = 0 1.582

Chegando em:

s 0 = - 0.44 0.22 T

Então,

x 1 = x 0 + s 0 = 0 0 + - 0.44 0.22 = - 0.44 0.22

Iteração 2:

Calculando J x 1 e F x 1 :

J x 1 = - 0.041 - 3.919 - 4.673 4.784

F x 1 = - 0.938 0.798

Resolvemos o sistema J x 1 s 1 = - F x 1 :

- 0.041 - 3.919 - 4.673 4.784 s 1 1 s 2 1 = 0.938 - 0.798

Chegando em:

s 1 = - 0.073 - 0.239 T

Então,

x 2 = x 1 + s 1 = - 0.44 0.22 + - 0.073 - 0.239 = - 0.513 - 0.019

Passo 3

c Nessa letra vamos ter que jogar as constantes pro outro lado, já que só sabemos achar o zero dessas funções! Então ficamos com:

F x = x 1 1 - x 1 + 4 x 2 - 12 x 1 - 2 2 + 2 x 2 - 3 2 - 25

Agora encontramos a matriz Jacobiana:

J x = f 1 x x 1 f 1 x x 2 f 2 x x 1 f 2 x x 2 = 1 - 2 x 4 2 x - 2 4 2 y - 3

Iteração 1:

Agora calculamos J x 0 e F x 0 com x 0 = 0 :

J x 0 = 1 4 - 4 - 12

F x 0 = - 12 - 12

Resolvemos o sistema J x 0 s 0 = - F x 0 :

1 4 - 4 - 12 s 1 0 s 2 0 = 12 12

Chegando em:

s 0 = - 48 15 T

Então,

x 1 = x 0 + s 0 = 0 0 + - 48 15 = - 48 15

Iteração 2:

Calculando J x 1 e F x 1 :

J x 1 = 97 4 - 100 108

F x 1 = - 2304 3204

Resolvemos o sistema J x 1 s 1 = - F x 1 :

97 4 - 100 108 s 1 1 s 2 1 = 2304 - 3204

Chegando em:

s 1 = 24.057 - 7.391 T

Então,

x 2 = x 1 + s 1 = - 48 15 + 24.057 - 7.391 = - 23.943 7.609

Passo 4

d Temos:

F x = 5 x 1 2 - x 2 2 x 2 - 0.25 sin x 1 + cos x 2

A matriz Jacobiana será dada por:

J x = f 1 x x 1 f 1 x x 2 f 2 x x 1 f 2 x x 2 = 10 x 1 - 2 x 2 - 0.25 cos x 1 0.25 sin x 2 + 1

Iteração 1:

Agora calculamos J x 0 e F x 0 com x 0 = 0 :

J x 0 = 0 0 - 0.25 1

F x 0 = 0 - 0.25

Opa, temos um problema aqui né? Não é possível obtermos x 1 pois demos de cara com um sistema de uma equação e duas variáveis! Quando uma linha da matriz Jacobiana zera, dizemos que ela é singular. Logo, não podemos continuar o exercício, pois J 0 é singular.

Resposta

a x 2 = 0.496 1.983

b x 2 = - 0.513 - 0.019

c x 2 = - 23.943 7.609

d Não podemos encontrar x 1 pois J 0 é singular.

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