Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo (MPF)

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Enunciado

Encontre o zero de f x = e x - x 2 + 4 com precisão ε = 10 - 6 usando o Método do ponto Fixo. Escolha uma função de iteração apropriada e um ponto inicial x 0 .

Passo 1

Primeiro vamos encontrar uma aproximação inicial:

f - 1 ≅ 3.37

f 0 = 5

f 1 ≅ 5.71

Eita, e agora? Vamos tentar outros valores né, fazer o que:

f - 2 ≅ 0.135

Opa, estamos mais perto do 0 , vamos tentar descer mais:

f - 3 ≅ - 4.95

Beleza, nosso intervalo é - 3 , - 2 .

Passo 2

Agora vamos encontrar uma função de iteração g x = x convergente.

e x - x 2 + 4 = 0

x 2 = e x + 4

x = - e x + 4

Precisamos daquele pois estamos trabalhando em um intervalo negativo.

Como g x = x ,

g x = - e x + 4

Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:

g x = - e x + 4

g ' x = - e x 2 e x + 4

Ambas g x e g ' x são contínuas em R .

g ' x = e x 2 e x + 4 < 1

Temos que g ' x é decrescente e g ' - 2 ≅ - 0.0333 , g ' - 3 ≅ - 0.01237 . Logo, é seguro falarmos que g ' x < 1 no intervalo dado.

Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.

Passo 3

Vamos tomar como estimativa inicial x 0 = - 2

x 0 = - 2

ε 1 = ε 2 = 10 - 6

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = - 2.0335524

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.0335524 > 10 - 6

f x 1 = 0.0044655 > 10 - 6

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = - 2.0335524

ε 1 = ε 2 = 10 - 6

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = - 2.0324541

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.0010982 > 10 - 6

f x 2 = 0.0001438 > 10 - 6

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = - 2.0324541

ε 1 = ε 2 = 10 - 6

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = - 2.0324895

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 3.54 ∙ 10 - 5 > 10 - 6

f x 3 = 4.63 ∙ 10 - 6 > 10 - 6

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = - 2.0324895

ε 1 = ε 2 = 10 - 6

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = - 2.0324884

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 1.1 ∙ 10 - 6 > 10 - 6

f x 4 = 1.5 ∙ 10 - 7 < 10 - 6

Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = - 2.0324884 .

Resposta

x - = - 2.0324884 .

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Considere a função f(x) = x3 - x - 1 (do Exemplo 19). Resolva-a pelo MPF com função de iteração φ ( x ) = 1 x + 1 x 2 e x 0 = 1 . Justifique seus resultados.
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9. Se a função de iteração do MPF for tal que as condições do Teorema 2 estão satisfeitas:a) mostre que ξ - x kM 1 - M x k - x k - 1 ;b) para que valores de M teremos então que ξ - x kε se x k - x k -