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Método do Ponto Fixo (MPF)

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Teoria

Introdução

Opa, chega mais!! Vamos começar mais um tópico da disciplina de Cálculo Numérico.

Se eu te pedisse pra encontrar uma raíz da função f x = x ³ - x - 1 , no intervalo [ 1,2 ] você saberia me dizer com facilidade? Caso não saiba, fique tranquilo!! Iremos mostrar aqui um novo método para encontrar esse zero da função: o Método do Ponto Fixo.

Nem sempre é fácil achar os zeros de uma função, às vezes as técnicas que aprendemos são ineficientes e acabamos dando voltas e mais voltas sem conseguir resolver o problema e encontrar as raízes da função.

Muitas vezes quando nos deparamos com um problema difícil de resolver nós substituímos ele por outro equivalente mais fácil de resolver. E é exatamente isso que vamos fazer neste tópico! Substituir o problema de encontrar os zeros da função por outro problema: Encontrar o ponto fixo de uma outra função! Calma que já já vamos ver como funciona esse macete!

Ponto Fixo de uma função qualquer

Primeiro vamos entender o que é o tal do Ponto Fixo de uma função. O ponto fixo p de uma função g x é simplesmente um ponto tal que g p = p . Ou seja, é um ponto onde a função g x encontra a reta x = y , de modo que o valor da função em um ponto vale ele mesmo.

Por exemplo:

A função g ( x ) = 3 x tem como ponto fixo o ponto x = 0 porque g ( 0 ) = 3.0 = 0

A função g ( x ) = 2 x - 1 tem como ponto fixo x = 1   porque g ( 1 ) = 2.1 - 1 = 1

AAAAh, e nada impede de uma função ter mais de 1 ponto fixo. Por exemplo:

A função g ( x ) = 4 x ² tem como ponto fixo x = 0   e x = 1 4

Ok, mas o que isso tem a ver com os zeros de uma função? Vem comigo que já vou explicar...

Método do Ponto Fixo

Imagina que queremos encontrar as raízes de uma função f ( x ) , mas não conseguimos encontrar a resposta igualando a função a zero…

Para resolver esse problema podemos aplicar o Método do Ponto Fixo. O método simplesmente quer transformar a equação f x = 0   em uma equação equivalente x = g x .

Ok ... um pouco mais devagar... O que está acontecendo aqui? Vamos tentar entender aos poucos, beleza?!

A partir da expressão f ( x ) = 0 (que é nosso problema inicial) podemos determinar uma nova expressão g ( x ) = x e encontrar as raízes da equação.

Note que o x   que é raiz de f ( x ) e ponto fixo da g ( x ) !

Essa função g ( x ) é chamada de função de iteração! E ela tem essa cara:

x k + 1 = g x k

Ou seja, o valor do x atual ( x k + 1 ) depende do valor da função anterior g x k .

Mas como funciona na prática essa g ( x ) ? Vamos ver um exemplo:

Exemplo

Começando com x 0 = 1 , calcule a função g x = x + 1 3 e encontre os próximos valores aplicados no ponto.

Vamos começar calculando o x 0 = 1 da função:

g x = x + 1 3

x 1 = g x 0 = 1 + 1 3 = 1,25992105

Agora, utilize o valor que você encontrou para aplicar novamente na função

x 2 = g x 1 = x 1 + 1 3 = 1,312293873

x 3 = g x 2 = x 2 + 1 3 = 1,32235381

x 4 = g x 3 = x 3 + 1 3 = 1,324268745

…

Percebe que os valores cada vez mais estão se aproximando? Convergindo para um número? Você está observando o processo de convergência. Isso porque x = 1,324   é o ponto fixo dessa função.

Aí você pode me perguntar: Beleza, mas que que isso tudo tem haver com os zeros da função f x   que queríamos calcular desde o começo?

A resposta é que quanto mais próximo o valor de x em f ( x ) chegar no zero da função, mas próximo o valor de x chega do ponto fixo de g ( x ) !

Ou seja, quanto mais próximo a gente estiver de encontrar o ponto fixo de g ( x ) também estaremos mais próximos de encontrar o valor do zero da função.

Lindo, não?! hahaha

Tá, mas e como encontrar a função g ( x ) a partir da f ( x ) ?

Bom, existem infinitas funções de iteração g x para a equação f x = 0 . O que elas possuem em comum é a forma geral:

g x = x + A x f x

onde, seja x * raiz de f , f x * = 0 e A x * ≠ 0 .

Vamos tentar um exemplo prático?!

Exemplo

Seja f x = x ³ - x - 1 . Queremos encontrar uma raiz no intervalo [ 1,2 ] . Tome x 0 = 1 .

Vamos lá! Precisamos encontrar nossa g x . Temos que f x = 0 , pois queremos uma raíz. Podemos isolar o x nessa equação :

x ³ - x - 1 = 0

x ³ = x + 1

x = x + 1 3

Lembra que a carinha da função de iteração é x k + 1 = g x k ?! Então conseguimos encontrar a nossa g x !!

Já calculamos seu ponto fixo anteriormente:

x 1 = g x 0 = 1 + 1 3 = 1,25992105

x 2 = g x 1 = x 1 + 1 3 = 1,312293873

x 3 = g x 2 = x 2 + 1 3 = 1,32235381

x 4 = g x 3 = x 3 + 1 3 = 1,324268745

Se o ponto fixo então é x = 1,324 , então encontramos a raíz procurada! Show de bola?!

Assim, a raiz de f x = x ³ - x - 1 no intervalo 1,2   é x = 1,324 .

Estudo da Convergência

Opa, ali em cima tava escrito infinitas funções?

Seria ótimo se todas as funções de interação funcionassem e convergissem para um ponto fixo né? BUT, infelizmente isso não acontece sempre.

O problema aqui é que nem toda g x vai convergir para a raíz, por mais que ela tenha a raíz como ponto fixo! Vou te dar um exemplo:

A equação x 3 + x - 10 = 0 tem como raiz x = 2 . Há duas funções de iteração possíveis para ela:

g 1 x = 10 - x 3           e             g 2 x = 10 - x 3

Vamos analisar primeiro g 1 x = 10 - x 3 , usando chute inicial x 0 = 1.5 :

x 1 = g x 0 = 6.625

x 2 = g x 1 = - 280.775

x 3 = g x 2 = 22134887.375

Bom, definitivamente não está convergindo para o 2 né?!

Agora vamos ver com g 2 x = 10 - x 3 e novamente x 0 = 1.5 :

x 1 = g x 0 = 2.04083

x 2 = g x 1 = 1.99659

x 3 = g x 2 = 2.00028

x 4 = g x 3 = 1.99998

Agora sim né?! Estamos claramente convergindo para o 2 !

E agora? Como vamos saber se escolhemos certo? Temos que começar a testar? Não! Por sorte alguém inventou um teorema que nos dá condições suficientes para que o processo seja convergente. Precisamos do seguinte:

Seja x * uma raiz da equação f x = 0 , isolada num intervalo I centrado em x * e seja g x uma função de iteração para a equação f x = 0 .

Se

g x e g ' x são contínuas em I ;

g ' x ≤ k < 1 , para todo x ∈ I ,

então o processo iterativo x k + 1 = g x k converge para x * .

Outro detalhe interessante é que, satisfeitas as condições acima, quanto menor for g ' x no ponto fixo de g x mais rápido esse método irá convergir para a raíz! Então, a melhor função de iteração será a que tiver o menor g ' p , onde p é ponto fixo de g x .Vamos verificar esse teorema? Vamos testar a g 1 x do nosso exemplo:

g 1 x = 10 - x 3

g 1 ' x = - 3 x 2

Ambas são contínuas em R então não teríamos problemas com algum intervalo I .

g 1 ' x < 1 ⇒ 3 x 2 < 1 ⇒ x 2 < 1 3 ⇒ - 1 3 < x < 1 3

Opa, repare que é impossível termos um intervalo I centrado em 2 com g 1 ' x < 1 . Por isso ela não convergiu para a raíz!

Vamos verificar a g 2 x :

g 2 x = 10 - x 3

g 2 ' x = - 1 3 10 - x 2 3

Temos que g 2 x é contínua em R e g 2 ' x é contínua em todos os reais menos o 10 . Então ainda é possível termos um intervalo I centrado em 2 , basta que não englobe o 10 .

g 2 ' x < 1

⇒   1 3 10 - x 2 3 < 1

⇒ 1 < 3 10 - x 2 3

⇒ 1 3 3 2 < 10 - x

⇒ x < 9.8

Aqui nossa única restrição é que x < 9.8 e x ≠ 10 . Então existem vários intervalos centrados em 2 possíveis que contenham x 0 = 1.5 e satisfaçam as condições acima, como por exemplo 1,3 . E foi por isso que ela convergiu, belezinha?! ;)

Critério de Parada

Repare que esse método não usa mais um intervalo, mas um chute inicial! Ou seja, não faria mais sentido usarmos b - a < ε como critério de parada! O que usaremos agora será a variação do valor de x entre duas iterações. Dessa forma, nosso critério de parada será:

x k + 1 - x k < ε

Isso normalmente indica que estamos bem perto da raiz. No entanto em alguns casos esse critério pode ser “enganado” pelo comportamento da função, então é bom ficar de olho também no valor da função f x k . Esse inclusive é outro critério de parada usado nesse método:

f x k < ε

Algoritmo

Chegamos na parte do Algoritmo novamente, onde eu escrevo o procedimento da maneira mais simples possível para ser passada para alguma linguagem. Vamos lá então:

Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):

a. Aproximação inicial x 0

b. Precisão do resultado final ε 1 e ε 2

Passo 2. Definimos um contador de iterações k = 0 .

Passo 3. Se f x 0 < ε 1 , escolha x 0 como x _ e FIM. Caso contrário, continue para o Passo 4.

Passo 4. k = k + 1 , aumentamos uma iteração no contador.

Passo 5. x = g x 0

Passo 6. Se x - x 0 < ε 2 , escolha x como x _ e FIM. Caso contrário continue para o Passo 7.

Passo 7. x 0 = x

Passo 8. Voltamos para o Passo 3 .

Como sempre, um bom critério de parada para se adicionar também é um número máximo de iterações.

O chato aqui é que para cada função que formos encontrar o zero teremos que definí-la e definir também uma g x para ela no nosso programa, ou seja, mais trabalho pra gente... mas é a vida! ahahahaha

Agora vamos exercitar! Mas repito, o mais importante aqui é que o conceito tenha sido bem entendido!!! 😊

Método do Ponto Fixo

Exemplo

Exemplo

Estudo da Convergência

Critério de Parada

Algoritmo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 65, exercício 6 adaptado

Use o método do Ponto Fixo para determinar a solução com precisão de 10 - 3 para a equação x 3 - x - 1 = 0 no intervalo 1,2 . Use x 0 = 1

Passo 1

Primeiro precisamos encontrar uma função de iteração g x = x convergente. Se liga:

x 3 - x - 1 = 0

x 3 = x + 1

x = x + 1 3

Como g x = x ,

g x = x + 1 3

Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:

g x = x + 1 3

g ' x = 1 3 x + 1 2 3

g x é contínua em todo R e g ' x é contínua em todo R menos o - 1 .

g ' x = 1 3 x + 1 2 3 < 1 ⇒ 1 < 3 x + 1 2 3 ⇒ 1 3 3 2 < x + 1 ⇒ x > - 0.81

Como nossa raiz está no intervalo 1,2 , não será problema definir um intervalo I centralizado na raiz e que contenha x 0 = 1 obedecendo às condições acima. Logo, essa função converge para a nossa raiz.

Passo 2

x 0 = 1

ε 1 = ε 2 = 0 . 0 0 1

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.2599

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.2 599 > 0.0 0 1

f x 1 = 0.2 599 > 0.0 0 1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.2 599

ε 1 = ε 2 = 0 . 0 01

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.312 3

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.052 4 > 0.0 0 1

f x 2 = 0.052 4 > 0.0 0 1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.312 3

ε 1 = ε 2 = 0 . 0 0 1

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.322 4

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.01 01 > 0.0 0 1

f x 3 = 0.01 01 > 0.0 0 1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.3224

ε 1 = ε 2 = 0.001

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 1.3243

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.0019 > 0.001

f x 4 = 0.0019 > 0.001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 1.3243

ε 1 = ε 2 = 0.001

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = 1.3246

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.0004 < 0.001

f x 5 = 0.0004 < 0.001

Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = 1.3246 .

Resposta

x - = 1.3246 .

Exercício Resolvido #2

Lista 2 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 3 – Item i Adaptada

Seja f x = x 2 - 4 sin ⁡ x . Determine um intervalo onde se encontre uma raiz e encontre uma função de iteração convergente para qualquer x 0 no intervalo. Em seguida, aplique o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação da raiz com precisão de 10 - 4 .

Obs.: Desconsidere a raiz x = 0 .

Passo 1

Poxa, x = 0 tava molinho pra gente né? Mas não tem problema, vamos achar a outra raiz:

f 0 = 0

f 1 = 1 - 4 sin ⁡ 1 ≅ - 2.37

f 2 = 4 - 4 sin ⁡ 2 ≅ 0.36

Beleza, sabemos que existe uma raiz no intervalo 1,2 !

Passo 2

Agora vamos encontrar uma função de iteração g x = x convergente.

x 2 - 4 sin ⁡ x = 0

x 2 = 4 sin ⁡ x

x = 4 sin ⁡ x

x = 2 sin ⁡ x

Como g x = x ,

g x = 2 sin ⁡ x

Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:

g x = 2 sin ⁡ x

g ' x = cos ⁡ x sin ⁡ x

g x é contínua para sin ⁡ x ≥ 0 , ou seja, x ∈ 2 n π , 2 n + 1 π , n ∈ R . O que quer dizer que ela é contínua em 0 , π , o que engloba nosso intervalo 1,2 .

g ' x é contínua para sin ⁡ x > 0 , ou seja, x ∈   ] 2 n π , ( 2 n + 1 ) π ] ,   n ∈ R . O que quer dizer que ela é contínua em ] 0 , π ] , o que engloba nosso intervalo 1,2 .

g ' x = cos ⁡ x sin ⁡ x < 1

A função g ' x é decrescente no intervalo 0 , π . Como g ' 1 ≅ 0.589 e g ' 2 ≅ - 0.436 , é seguro afirmar que em nenhum momento seu módulo é maior que 1 no intervalo 1,2 .

Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.

Passo 3

Vamos tomar como estimativa inicial x 0 = 2

x 0 = 2

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.90714

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.09285 > 0.0 0 01

f x 1 = 0.13868 > 0.00 0 1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.90714

ε 1 = ε 2 = 0.0 0 01

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.94316

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.03602 > 0.0 0 01

f x 2 = 0.04999 > 0.0 0 01