Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo (MPF)

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Enunciado

Seja f x = x 2 - 4 sin ⁡ x . Determine um intervalo onde se encontre uma raiz e encontre uma função de iteração convergente para qualquer x 0 no intervalo. Em seguida, aplique o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação da raiz com precisão de 10 - 4 .

Obs.: Desconsidere a raiz x = 0 .

Passo 1

Poxa, x = 0 tava molinho pra gente né? Mas não tem problema, vamos achar a outra raiz:

f 0 = 0

f 1 = 1 - 4 sin ⁡ 1 ≅ - 2.37

f 2 = 4 - 4 sin ⁡ 2 ≅ 0.36

Beleza, sabemos que existe uma raiz no intervalo 1,2 !

Passo 2

Agora vamos encontrar uma função de iteração g x = x convergente.

x 2 - 4 sin ⁡ x = 0

x 2 = 4 sin ⁡ x

x = 4 sin ⁡ x

x = 2 sin ⁡ x

Como g x = x ,

g x = 2 sin ⁡ x

Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:

g x = 2 sin ⁡ x

g ' x = cos ⁡ x sin ⁡ x

g x é contínua para sin ⁡ x ≥ 0 , ou seja, x ∈ 2 n π , 2 n + 1 π , n ∈ R . O que quer dizer que ela é contínua em 0 , π , o que engloba nosso intervalo 1,2 .

g ' x é contínua para sin ⁡ x > 0 , ou seja, x ∈   ] 2 n π , ( 2 n + 1 ) π ] ,   n ∈ R . O que quer dizer que ela é contínua em ] 0 , π ] , o que engloba nosso intervalo 1,2 .

g ' x = cos ⁡ x sin ⁡ x < 1

A função g ' x é decrescente no intervalo 0 , π . Como g ' 1 ≅ 0.589 e g ' 2 ≅ - 0.436 , é seguro afirmar que em nenhum momento seu módulo é maior que 1 no intervalo 1,2 .

Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.

Passo 3

Vamos tomar como estimativa inicial x 0 = 2

x 0 = 2

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.90714

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.09285 > 0.0 0 01

f x 1 = 0.13868 > 0.00 0 1

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.90714

ε 1 = ε 2 = 0.0 0 01

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.94316

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.03602 > 0.0 0 01

f x 2 = 0.04999 > 0.0 0 01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.94316

ε 1 = ε 2 = 0.0 0 01

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.93025

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.01291 > 0.0 0 01

f x 3 = 0.01847 > 0.0 0 01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.93025

ε 1 = ε 2 = 0.0 0 01

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 1.93503

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.00478 > 0.0 0 01

f x 4 = 0.00677 > 0.0 0 01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 1.93503

ε 1 = ε 2 = 0.0 0 01

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = 1.93328

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.00175 > 0.0 0 01

f x 5 = 0.00249 > 0.0 0 01

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 5 = 1.93328

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = 1.93393

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 0.00064 > 0.0001

f x 6 = 0.00091 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 6 = 1.93393

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 7 :

x 7 = g x 6 = 1.93369

Critério de Parada:

x 7 - x 6 = 0.00024 > 0.0001

f x 7 = 0.00034 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 7 = 1.93369

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 8 :

x 8 = g x 7 = 1.93378

Critério de Parada:

x 8 - x 7 = 0.00008 < 0.0001

f x 8 = 0.00012 > 0.0001

Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = 1.93378 .

Resposta

x - = 1.93378 .

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