Exercícios Resolvidos de Método do Ponto Fixo (MPF)

Lista 2 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 3 – Item iv Adaptada

Seja f x = 3 x 2 - x - 2 . Determine um intervalo onde se encontre uma raiz e encontre uma função de iteração convergente para qualquer x 0 no intervalo. Em seguida, aplique o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação da raiz com precisão de 10 - 4 .

Passo 1

Vamos encontrar o intervalo onde essa raiz ta se escondendo:

Dessa vez temos que tomar cuidado já que a função não está definida no 0 .

f 0.5 = 9.5

f 1 = 0

Eita, achamos a raiz. Bom, vamos fingir que não achamos e continuar pra praticar um pouco haha. Beleza, sabemos que existe uma raiz no intervalo 0.5,1 !

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Passo 2

Agora vamos encontrar uma função de iteração g x = x convergente.

3 x 2 - x - 2 = 0

3 x 2 = x + 2

3 = x 3 + 2 x 2

x 2 x + 2 = 3

x 2 = 3 x + 2

x = 3 x + 2

Como g x = x ,

g x = 3 x + 2

Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:

g x = 3 x + 2

g ' x = - 3 2 1 x + 2 3 2

Ambas g x e g ' x são contínuas para x > - 2 , o que faz elas contínuas em 0.5,1

g ' x = 3 2 1 x + 2 3 2 < 1 1 x + 2 < 2 3 2 3 3 2 2 3 < x + 2

x > 3 2 2 3 - 2 - 1.091

Então no final das contas precisamos que x > - 1.091 , o que não causa nenhum problema pra gente criar o intervalo centrado em 1 (que nós sabemos ser a raiz).

Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.

Passo 3

Vamos tomar como estimativa inicial x 0 = 0.5

x 0 = 0.5

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.0954 5

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.59545 > 0.0001

f x 1 = 0.59545 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.0954 5

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 0.98446

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.11098 > 0.0001

f x 2 = 0.11098 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.98446

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.0026

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.01814 > 0.0001

f x 3 = 0.01814 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.0026

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 0.99957

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.00303 > 0.0001

f x 4 = 0.00303 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 0.99957

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = 1.00007

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.00051 > 0.0001

f x 5 = 0.00051 > 0.0001

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 5 = 1.00007

ε 1 = ε 2 = 0.0001

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = 0.99999

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 0.00008 < 0.0001

f x 6 = 0.00008 < 0.0001

Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é x - = 0.99999 , o que é bem próximo do 1 né? haha

Resposta

x - = 0.99999 .

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