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Exercícios Resolvidos de Modelos mecânicos

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Enunciado

Determine a amplitude e a frequência de oscilação da resposta a um impulso de torque no pêndulo de torção sem atrito representado abaixo, composto de um corpo rígido de inércia rotacional 𝐽 suspenso por um fio com rigidez rotacional 𝐾.

Passo 1

Nesse exercício temos um sistema mecânico rotacional.

Precisamos encontrar uma expressão para o ângulo de rotação θ ( t ) , para isso, vmos escrever a equação de equilíbrio de torque:

τ r = ∑ τ

O torque resultante é a soma de todos os torques, e temos que:

τ r = J d θ 2 d t 2

Logo:

J d θ 2 d t 2 = ∑ τ

Nesse caso, não temos atrito, mas temos um impulso de torque, T t , e também temos um fio com rigidez rotacional, K , que atrapalha a rotação.

J d θ 2 d t 2 = T t - K θ ( t )

Passo 2

Devemos agora aplicar transformada de Laplace na nossa EDO:

J s 2 θ s = 1 - K θ ( s )

Essa parte da transformada de Laplace é bem importante, se você estiver com dúvidas nesse passo seria legal dar uma revisada no tópico de transformadas de Laplace.

A transformada de Laplace da função de torque foi 1 devido ao fato de ser uma função impulso. Funções impulso sempre vão ter transformada de Laplace igual a 1.

Rearranjando:

J s 2 θ s + K θ s = 1

J s 2 + K θ s = 1

θ s = 1 J s 2 + K

Passo 3

Já obtivemos a expressão para o ângulo θ no domínio s :

θ s = 1 J s 2 + 1

Se manipularmos um pouco teremos:

θ s = 1 / J s 2 + K J = 1 K J   K J s 2 + K J

Fizemod essa manipulação para conseguir aplicar a inversa da transformada de Laplace. Se olharmos uma tabela com transformadas de Laplace, veremos que essa função ficou com o mesmo formato da transformada da função seno. Fazedno a transformada inversa teremos:

θ t = 1 K J sen ⁡ K J t

Passo 4

O exercício pede a amplitude e frequência de oscilação.

A amplitude é a constante que multiplica a função seno:

a m p l i t u d e =   1 K J

E a frequência é o argumento da função:

f r e q u ê n c i a = K J  

Resposta

a m p l i t u d e =   1 K J

f r e q u ê n c i a = K J