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Exercícios Resolvidos de Modelos mecânicos

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Enunciado

Para o sistema mecânico da figura abaixo, sendo f ( t ) , o sinal de entrada e x ( t ) , o sinal de saída, obter a função de transferência do sistema.

Passo 1

Para esse exercício, precisaremos obter uma relação de equilíbrio entre as diferentes forças envolvidas.

F r = ∑ F

Temos três forças agindo sobre o nosso objeto: a força f ( t ) , a força da mola e a força de atrito.

A força da mola será:

F m o l a = K x ( t )

E a força de atrito:

F a t r i t o = B d x t d t

Passo 2

Vamos arbitrar que a força é positiva para baixo e negativa para cima. Sendo assim:

F r = f t - k x t - B d x t d t

A força resultante sobre o corpo, pode ser escrita usando-se a Segunda Lei de Newton:

F r = M a = M   d 2 x t d t 2

Sendo a a aceleração do corpor, e aceleração é a derivada dupla da posição. Substituindo na equação de equilíbrio:

M   d 2 x t d t 2 = f t - k x t - B d x t d t

Passo 3

Como o exercício pede a função de transferência do sistema, precisamos tirar a transformada de Laplace da equação acima e encontrar a relação entre a força f ( t ) e a posição x ( t ) .

Aplicando Laplace:

M s 2 X s = F s - k X s - B s X ( s )

Essa parte da transformada de Laplace é bem importante, se você estiver com dúvidas nesse passo seria legal dar uma revisada no tópico de transformadas de Laplace.

Rearrajando:

F s = M s 2 X s + B s X s + k X ( s )

F s = M s 2 + B s + k X ( s )

Logo:

X s F s = 1 M s 2 + B s + k

Resposta

X s F s = 1 M s 2 + B s + k