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Exercícios Resolvidos de Modelos mecânicos

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Enunciado

Encontre a função de transferência X s U s do sistema de massa molo abaixo:

Passo 1

Aqui nessa questão temos um corpor m e três forças agindo sobre ele: a força u ( t ) , a força da mola e a força proveniente do sistema de amortecimento. Sendo assim:

F r = ∑ F

F r = u t - k x t - b d x t d t

Usando a segunda lei de newton:

F r = M a = M   d 2 x t d t 2

Sendo M a massa do corpo e a a aceleração.

Aceleração é a derivada dupla da posição. Substituindo na equação de equilíbrio:

M   d 2 x t d t 2 = u t - k x t - b d x t d t

Passo 2

Vamos rearranjar para deixar tudo que tem a a posição x ( t ) do lado esquerdo da equação:

M   d 2 x t d t 2 + k x t + b d x t d t = u ( t )

Já temos a nossa EDO no jeitinho. O próximo passo é aplicar a transformada de Laplace nela para que possamos determinar a função de transferência:

Aplicando Laplace:

M s 2 X s + k X s + b s X s = U ( s )

Só lembrando: se você não está se lembrando como fazer esse passo, seria legal dar uma revisa em transformadas de Laplace. Esse passo é fundamental e precisa estar na ponta da língua hein.

Passo 3

Colocando X ( s ) em evidência do lado esquerdo da equação:

M s 2 + k + b s X s = U ( s )

Rearranjando:

M s U s = 1 M s 2 + b s + k

Resposta

M s U s = 1 M s 2 + b s + k