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Exercícios Resolvidos de Modelos mecânicos

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Enunciado

Escreva as equações de movimento para a velocidade do carro conforme mostrado na figura abaixo assumindo que o motor fornece uma força u . Obetnha a transformada de Laplace da equação diferencial resultante e encontre a função de transferência entre a entrada u e a saída v .

Passo 1

Precisamos encontrar a relação entre a força que o motor aplica no carro e a sua velocidade.

Nesse caso, precisamos considerar duas forças agindo sobre o carro, a força u fornececida pelo motor e a força de atrito.

F r = ∑ F

F r = u t - b d x t d t

Usando a segunda lei de newton:

F r = M a = M   d 2 x t d t 2

Sendo a a aceleração do corpo, e aceleração é a derivada dupla da posição. Substituindo na equação de equilíbrio:

M   d 2 x t d t 2 = u t - b d x t d t

Passo 2

Por enquanto, temos uma EDO que relaciona a força fornecida pelo motor com a posição do carro, entretanto, precisamos encontrar a relação com a velocidade e não com a posição. Como a velocidade é a derivada da posição, podemos usar essa relação:

v t = d x t d t

Logo:

M d d t d x t d t = u t - b d x t d t

M d v t d t = u t - b v ( t )

Rearranjando:

u t = M d v t d t + b v ( t )

Passo 3

Obtivemos então a EDO que relaciona a velocidade do carro com a força fornecida pelo motor:

u t = M d v t d t + b v ( t )

O próximo passo agora é aplicar a transformada de Laplace:

U s = M s V s + b V ( s )

Essa parte da transformada de Laplace é bem importante, se você estiver com dúvidas nesse passo seria legal dar uma revisada no tópico de transformadas de Laplace.

Rearrajando:

U s = M s + b V ( s )

Logo:

V s U s = 1 M s + b

Resposta

V s U s = 1 M s + b