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Exercícios Resolvidos de Modelos mecânicos

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Enunciado

Encontre as funções de transferência X 1 s U s e X 2 s U s para o sistema mecânico abaixo:

Passo 1

Precisamos então encontrar a função de transferência que relaciona a posição de cada um dos blocos com a força u aplicada.

F r = ∑ F

Para o primeiro bloco teremos:

m 1   d 2 x 1 d t 2 = u t - k 1 x 1 t - k 2 x 1 t - x 2 t - B d x 1 t d t - d x 2 t d t

A força resultante ( m a s s a   x   a c e l e r a ç ã o ) é igual a soma de todas as forças atuantes no bloco. Para o primeiro bloco temos a força de entrada u ( t ) , a força proveniente das molas 1 e 2 e a força de atrito.

Analogamente para o segundo bloco teremos:

m 2   d 2 x 2 d t 2 = - k 3 x 2 t - k 2 x 2 t - x 1 t - B d x 2 t d t - d x 1 t d t

Vamos tentar reorganizar essas equações para conseguir trabalhar com elas um pouco mais facilmente. Para a primeira equação, vamos deixar tudo que tem x 1 do lado direito e todo o resto do lado esquerdo:

m 1   d 2 x 1 d t 2 + B d x 1 t d t + k 1 + k 2 x 1 t = B d x 2 t d t + k 2 x 2 t + u ( t )

Para a segunda equação, vamos deixar tudo que tem x 2 do lado esquerdo:

m 2   d 2 x 2 d t 2 + B d x 2 t d t + k 2 + k 3 x 2 t = B d x 1 d t + k 2 x 1 ( t )

Passo 2

Obtivemos então as EDOs que regem o sistema:

m 1   d 2 x 1 d t 2 + B d x 1 t d t + k 1 + k 2 x 1 t = B d x 2 t d t + k 2 x 2 t + u ( t )

m 2   d 2 x 2 d t 2 + B d x 2 t d t + k 2 + k 3 x 2 t = B d x 1 d t + k 2 x 1 ( t )

O próximo passo agora é aplicar a transformada de Laplace. Para a primeira equação:

m 1 s 2 X 1 s + B s X 1 s + k 1 + k 2 X 1 s = B s X 2 s + k 2 X 2 s + U ( s )

E para a segunda:

m 2 s 2 X 2 s + B s X 2 s + k 2 + k 3 X 2 s = B s X 1 s + k 2 X 1 s

Rearranjando as equações obtidas:

m 1 s 2 + B s + k 1 + k 2 X 1 s = B s + k 2 X 2 s + U s                               ( 1 )

m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 X 2 s = B s + k 2 X 1 s                                                         ( 2 )

Passo 3

Para achar as expressões de X 1 s U s e X 2 s U s precisaremos fazer um pouco de algebrismo. Vamos então isolar X 2 ( s ) na equação (2):

X 2 s = B s + k 2 X 1 s m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3

Substituindo na equação (1), teremos:

m 1 s 2 + B s + k 1 + k 2 X 1 s = B s + k 2 2 X 1 s m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3   + U s  

Rearranjando:

m 1 s 2 + B s + k 1 + k 2 - B s + k 2 2 m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3   X 1 s = m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 U ( s )

m 1 s 2 + B s + k 1 + k 2 m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 - B s + k 2 2 X 1 s = ( m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 ) U ( s )

Finalmente:

X 1 s U s = ( m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 ) m 1 s 2 + B s + k 1 + k 2 m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 - B s + k 2 2

Já achamos X 1 s U s , agora só falta X 2 s U s .

Substituindo a equação para X 1 ( s ) U s que acabamos de encontrar, na equação (2):

m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 X 2 s = ( m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 ) B s + k 2 U ( s ) m 1 s 2 + B s + k 1 + k 2 m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 - B s + k 2 2

Podemos cancelar o termo m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 que aparece dos dois lados da equação:

X 2 s = B s + k 2 U ( s ) m 1 s 2 + B s + k 1 + k 2 m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 - B s + k 2 2

Finalmente:

X 2 s U s = B s + k 2 m 1 s 2 + B s + k 1 + k 2 m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 - B s + k 2 2

Resposta

X 1 s U s = ( m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 ) m 1 s 2 + B s + k 1 + k 2 m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 - B s + k 2 2

X 2 s U s = B s + k 2 m 1 s 2 + B s + k 1 + k 2 m 2 s 2 + B s + k 2 + k 3 - B s + k 2 2