Exercícios Resolvidos de Modelos térmicos

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Enunciado

Água quente a uma vazão de 2   L / m i n   (constante) e temperatura T h ( t ) é misturada com água fria a uma vazão constante de 3   L / m i n e uma temperatira constante de 20   º C . Ambos os fluxos fluem para uma banheira, mas por motivo de descuido a água está transbordando e mantendo a banheira cheia de água . O volume da banheira é de 100   L . Supondo que a água na banheira está perfeitamente misturada, deduza a equação diferencial que relaciona a temperatura da banheira T ( t ) à temperatura da água quente, T h t . Obtenha a fução de transferência Γ ( s ) / Γ h ( s ) .

Passo 1

Começando pelo clássico balanço de energia.

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a - { C o n s u m i d a }

Para esse caso, não temos nenhuma fonte de geração ou consumo de energia. Sendo assim, o balanço de enregia pode ser reduzido a:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i

Na nossa banheira, vamos considerar separadamente duas correntes entrando e uma corrente saindo.

Para a entrada, teremos a corrente quente a corrente fria. Sendo assim:

E n t r a = m ˙ h c p T h t + m c ˙ c p T c

Como:

m ˙ = f ρ

E n t r a = f h ρ c p T h t + f c ρ c p T c

Para a saída, iremos considerar uma corrente que é a soma das duas correntes de entrada.

s a i = f h + f c ρ c p T ( t )

Para esse problema, estamos considerando parâmetros concentrados, o que quer dizer que a temperatura na banheira é igual em todos os pontos e igual à temperatura de saída. Além disso consideraramos densidade e capacidade calorífica constantes e que não exitem perdas no sistema.

Por enquanto, estamos assim:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = f h ρ c p T h t + f c ρ c p T c - f h + f c ρ c p T ( t )

Ou:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = ρ c p f h T h t + f c T c - f h + f c T t

O acúmulo de energia no sistema é dado por:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = d U ( t ) d t = m c p d T ( t ) d t = ρ V c p d T ( t ) d t

Juntando tudo:

ρ V c p d T ( t ) d t = ρ c p f h T h t + f c T c - f h + f c T t

V d T ( t ) d t = f h T h t + f c T c - f h + f c T t

Passo 2

Antes da gente continuar, precisamos dar uma ajeitada na casa.

Primeiramente vamos organizar a EDO passando tudo que tem T ( t ) para a esquerda da equação.

V d T ( t ) d t + f h + f c T t = f h T h t + f c T c           ( 1 )

Também precisamos passar nossa EDO para variáveis desvio. Vamos, então, reescrever a equação ( 1 ) com todas as variáveis no valor inicial (e vamos representar isso com uma barra).

V d T - d t + f h + f c T - = f h T h - + f c T c           ( 2 )

Fazendo ( 1 - ( 2 ) , teremos:

V d [ T t - T - t ] d t + f h + f c T t - T - t = f h T h t - T - h     ( 3 )

Repare que como a temperatura e a vazão da corrente fria são constantes, os termos referentes à essa corrente se anulam.

Definindo as variáveis desvio:

Γ t = T t - T - t

Γ h t = T h t - T - h

Substituindo em ( 3 ) :

V d Γ ( t ) d t + f h + f c Γ t = f h Γ h t           ( 4 )

Passo 3

Casa arrumada, podemos prosseguir. O próximo passo é a transformada de Laplace.

Aplicando Laplace em ( 4 ) teremos:

V s Γ s + f h + f c Γ s = f h Γ h ( s )

A transformada de Laplace é uma parte muito importante da resolução desse exercício. Se você não tá com esse assunto afiado, seria bacana dar uma revisada nesse tópico!

Rearranjando:

V s + f h + f c Γ s = f h Γ h ( s )

Portanto, a função de transferência será:

Γ s Γ h s = f h V s + f h + f c

Ou:

Γ s Γ h s = f h f c + f h V f h + f c s + 1

Substituindo os valores:

f h = 2   L / m i n

f c = 3   L / m i n

V = 100

Γ s Γ h s = 0,4 20 s + 1

E o diagrama de blocos:

Resposta

V d T ( t ) d t + f h + f c T t = f h T h t + f c T c

Γ s Γ h s = 0,4 20 s + 1