Exercícios Resolvidos de Modelos térmicos

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Enunciado

Considere o sensor de temperatura esboçado na figura abaixo. O bulbo e sua fonte térmica vizinha estão em uma temperatura uniforme T b ( t ) , e a vizinha está em uma temperatura uniforme T s ( t ) . A troca de calor entre a vizinhança e o bulbo é dada por:

q t = h A T s t - T b t

Onde:

q t → proporção de transferência de calor, J / s

h →   coeficiente de calor de convecção do filme, J / s m 2 º C  

A → área entre o bulbo e sua vizinhança

Considere M ,   k g , a massa do bulbo e da fonte térmica, e C v ,   J / k g º C , sua capacidade calorífica. Obtenha a função de trsnferência que descreve a a resposta de temperatura do bulbo quando a temperatura da vizinhança varia. Liste todas as suposições e desenhe o diagrama de blocos para o bulbo.

Passo 1

Antes de começar, devemos fazer nossas suposições.

Para fazer a modelagem desse bulbo, existem duas coisas que devemos considerar principalmente. Primeiro que o o bulbo se encontra a parâmetros concentrados, ou seja, a temperatura em qualquer parte do bulbo é a mesma.

Segundo, devemos considerar que não existem perdas. Toda e qualquer troca de energia acontece exclusivamente do bulbo para a vizinhança ou da vizinhança para o bulbo.

Passo 2

Vamos começar fazendo o balanço de energia para a temperatura no bulbo:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a - { C o n s u m i d a }

Para esse caso, não temos nenhuma fonte de geração ou consumo de energia. Sendo assim, o balanço de enregia pode ser reduzido a:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i

A relação entre a quantidade de energia que entra e sai do nosso sistema (bulbo) já foi dada do enunciado:

E n t r a - S a i = q t = h A T s t - T b t

Logo:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = h A T s t - T b t

E o Acúmulo de enercia:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = d U d t = d M C v T b t d t = M C v d T b t d t

Por fim:

M C v d T b t d t = h A T s t - T b t

Passo 3

Antes de prosseguir, vamos rearranjar a EDO para conseguir trabalhar mais facilmente com ela. Sendo assim, vamos colocar todos os termos com T b ( t ) do lado esquerdo da equação.

M C v d T b t d t + h A T b t = h A T s t           ( 1 )

Além disso, precisamos ainda passar as nossas variáveis para variáveis desvio. Para isso, vamos reescrever a equação com todos as variáveis no estado inicial (vamos representar com uma barra):

M C v d T b - d t + h A T b - = h A T s -           ( 2 )

Fazendo 1 - ( 2 ) :

M C v d T b t - T b - d t + h A T b t - T b - = h A T s t - T s -

Agora, vamos definir nossas variáveis desvio:

Γ b t = T b t - T b -

Γ s t = T s t - T - s

Fazendo as substituições:

M C v d Γ b t d t + h A Γ b t = h A Γ s t             ( 3 )

Passo 4

Agora já está tudo pronto para podermos prosseguir para o próximo passo que é a aplicação da transformada de Laplace.

Aplicando Laplace em ( 3 ) teremos:

M C v s Γ b s + h A Γ b s = h A Γ s ( s )

A transformada de Laplace é uma parte muito importante da resolução desse exercício. Se você não tá com esse assunto afiado, seria bacana dar uma revisada nesse tópico!

Rearranjando:

M C v s + h A Γ b s = h A Γ s ( s )

Portanto, a função de transferência será:

Γ b s Γ s s = h A M C v s + h A

Ou:

Γ b s Γ s s = 1 M C v h A s + 1

E o diagrama de blocos:

Resposta

Γ b s Γ s s = 1 M C v h A s + 1