Exercícios Resolvidos de Modelos térmicos

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Enunciado

Considere um reator químico adiabático, exotérmico, perfeitamente misturado onde ocorre a reação A + B → C . Considere:

  • ρ → densidade dos reagentes e produtos, k m o l / m 3 , constante.
  • f → fluxo de corrente de entrada e saída, m 3 / s e g , constante.
  • T i t → temperatura de entrada, K .
  • T t → temperatura do reator, K .
  • Δ H r → calor da reação, constante e ngativo, J / k m o l .
  • c p ,   c v → Capacidades caloríficas (constantes), J / k m o l   K .
  • V → Volume do líquido no reservatório, constante, m 3 .

A cinética para a reação é expressa pela seguinte expressão de ordem zero:

r A = - k 0 e - E R T t

Onde:

k 0 → fator de frequência, k m o l / m 3   s .

E → energia de ativação, J / k m o l .

R → constnate dos gases ideais, J / k m o l   K .

Determine a função de transferência Γ ( s ) / Γ i ( s ) para o reator.

Passo 1

Além de todas as considerações que o enunciado já fez para a gente, vamos considerar também que o sistema se encontra a parâmetros concentrados e que não existe nenhum tipo de perda de energia.

Dito isso, vamos partir para o famoso balanço de energia.

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a - { C o n s u m i d a }

Nesse exercício nós temos uma corrente de entrada, uma corrente de saída e ainda por cima também temos uma geração de energia, isso porque acontece uma reação exotérmica no reator.

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + { G e r a d a }

Vamos escrever as expressões para cada um dos termos acima:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = d U ( t ) d t = m c p d T ( t ) d t = ρ V c p d T ( t ) d t

E n t r a = m ˙ c p T i t = ρ f c p T i t

s a i = m ˙ c p T t = ρ f c p T ( t )

Para expressar a energia gerada pela reação devemos multiplicar a entalpia da reação, pela taxa e também pelo volume do reator. Logo:

G e r a d o = - Δ H r k 0 V e - E R T t V

Juntando tudo:

ρ V c p d T ( t ) d t = ρ f c p T i t - ρ f c p T ( t ) - Δ H r k 0 V e - E R T t

Passo 2

OPA, OPA, OPA. ALERTA DE PROBLEMA!

A nossa EDO ficou com um termo que não é linear. O que a gente faz quando isso acontece? Isso mesmo, lineariza hahaha.

O termo não linear éo termo relativo à energia da reação. Sendo assim, a nossa função que precisará ser linearizada é:

f T = e - E R T t

Para linearizar, nós utilizamos a linearização de Taylor:

f x = f x - + ∂ f ∂ x x - . ( x - x - ) 1 !

Logo:

f T = e - E R T - + E R T - T t - T -

Subsituindo na nossa expressão:

ρ V c p d T ( t ) d t = ρ f c p T i t - ρ f c p T ( t ) - Δ H r k 0 V e - E R T - + E R T - e - E R T - T t - T -

Passo 3

Estamos progredindo, mas a nossa EDO ainda tá muito bagunçada. Vamos aplicar variáveis desvio para tentar melhorar as coisas para o nosso lado:

ρ V c p d T ( t ) d t = ρ f c p T i t - ρ f c p T t - Δ H r k 0 V e - E R T - + E R T - e - E R T - T t - T -                       ( 1 )

Vamos reescrever a expressão ( 1 ) colocando todas as suas variáveis no estado inicial (e vamos representar essas variáveis com a barra):

ρ V c p d T - d t = ρ f c p T i - - ρ f c p T - - Δ H r k 0 V e - E R T -                       ( 2 )

Perceba que o último termo se anula porque ficamos com T - - T - = 0 .

Fazendo 1 - ( 2 ) :

ρ V c p d T t - T - d t = ρ f c p [ T i t - T i - ] - ρ f c p T t - T - - Δ H r k 0 V E R T - e - E R T - T t - T -                       ( 3 )

Vamos definir então nossas variáveis desvio:

Γ t = T t - T -

Γ i t = T i t - T i -

Finalmente:

ρ V c p d Γ ( t ) d t = ρ f c p Γ i ( t ) - ρ f c p Γ ( t ) - Δ H r k 0 V E R T - e - E R T - Γ ( t )             ( 4 )

Passo 4

Quase lá!!

Vamos dar uma organizada nessa EDO passando tudo que tem Γ ( t ) para o lado esquerdo:

ρ V c p d Γ ( t ) d t + ρ f c p Γ t + Δ H r k 0 V E R T - e - E R T - Γ ( t ) = ρ f c p Γ i ( t )

Colocando Γ t em evidência:

ρ V c p d Γ ( t ) d t + ρ f c p + Δ H r k 0 V E R T - e - E R T - Γ ( t ) = ρ f c p Γ i ( t )

Para facilitar o nosso lado, vamos definir novas constantes que agrupem todas essas constantes:

a 1 = ρ V c p

a 2 = ρ f c p + Δ H r k 0 V E R T - e - E R T -

a 3 = ρ f c p

Ficamos então com

a 1 d Γ ( t ) d t + a 2 Γ t = a 3 Γ i t               ( 5 )

Bem melhor né?

Passo 5

Para achar a função de transferência agora, só nos resta aplicar Laplace.

Aplicando Laplace na expressão ( 5 )

a 1 s Γ s + a 2 Γ s = a 3 Γ i ( s )

Colocando Γ ( s ) em evidência:

a 1 s + a 2 Γ s = a 3 Γ i ( s )

Logo a função de transferência será:

Γ s Γ i ( s ) = a 3 a 1 s + a 2

Com:

a 1 = ρ V c p

a 2 = ρ f c p + Δ H r k 0 V E R T - e - E R T -

a 3 = ρ f c p

Resposta

Γ s Γ i ( s ) = a 3 a 1 s + a 2

Com:

a 1 = ρ V c p

a 2 = ρ f c p + Δ H r k 0 V E R T - e - E R T -

a 3 = ρ f c p