Exercícios Resolvidos de Modelos térmicos

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Enunciado

Considere um sistema fechado composto por duas câmaras separadas por uma parede de resitência térmica R . A câmara da direira tem temperatura T 1 ( t ) e capacidade calorífica c p 1 , e a câmara da esquerda tem temperatura T 2 e capacidade calorífica c p 2 . A câmara da direita é aquecida por uma serpentina que fornece calor a uma taxa q i . Encontre o modelo matemático que rege o sistema. Considere que os dois compartimentos estão bem misturados.

Passo 1

Para encontrar o modelo mademático que descreve o sistema, devemos encontrar o conjunto de EDO’s que governam a temperatura em cada um dos compartimentos.

Começaremos então pelo primeiro compartimento. Vamos fazer isso analisando o balanço de energia para ele:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a - { C o n s u m i d a }

Os termos de geração e consumo servem para representar as taxas de calor quando temos reações químicas no sistema. Não é o caso aqui.

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i

Na primeira câmara nós temos enegia entrando no sistema através da serpentina. O enunciado diz que essa energia é passada para o fluido a uma taxa q i , sendo asism:

E n t r a = q i

O primeiro compartimento também troca energia com o segundo compartimento. Pela Lei de Fourier essa troca de energia acontece da seguinte maneira:

q = 1 R T 1 t - T 2 t

Onde R é a resistência proporcionada pela parede. Sendo assim a energia que sai da primeira câmara é:

S a i = 1 R T 1 t - T 2 t

A variação de energia no primeiro compartimento também pode ser descrita como:

d U 1 d t = m c p 1 d T 1 d t

Juntando tudo:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i

Passo 2

Para o segundo compartimento, a única troca de energia que existe é com o primeiro compartimento, então:

m c p 2 d T 2 d t =   1 R T 1 t - T 2 t

Resposta

m c p 1 d T 1 d t = q i - 1 R T 1 t - T 2 t

m c p 2 d T 2 d t =   1 R T 1 t - T 2 t