Exercícios Resolvidos de Modelos térmicos

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Enunciado

Um tanque encamisado mostrado abaixo é usado para esfriar uma corrente de processo. As seguintes informações são sabidas:

  • O volume de líquido no tanque, V , e o volume de fluido refrigerante na camisa, V C , permanencem constantes. A vazão volumétrica f 0 permanece constante mas f C varia com o tempo.
  • As perdas de energia da camisa são desprezíveis.
  • Os conteúdos do tanque e da camisa podem ser considerados bem misturados e têm capacitância térmica considerável.
  • As capacitâncias térmicas da parede do tanque e da camisa são desprezíveis.
  • O Coeficiente global de troca térmica por convecção entre o líquido do tanque e o fluido refrigerante varia com a vazão na camisa:

U = K f C 0,8 ( t )

Desenvolva o modelo matemático para o sistema.

Passo 1

O exercício pede o modelo matemático que descreve o sistema, ou seja, precisamos encontrar expressões matemáticas que ilustrem o comportamento da temperatura tanto no tanque quanto na camisa.

Para fazer isso, além de todas considerações já expostas no enunciado, vamso ainda considerar que a densidade e o calor específico de ambos os fluido podem ser considerados constantes.

Vamos começar fazendo o balanço para o líquido do tanque.

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a - { C o n s u m i d a }

Nesse process não existe nenhuma reação que gera ou consome energia, logo o balanço de energia pode ser reduzido:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i

Além das correntes de entrada e saída, o líquido do tanque troca energia por convecção com o líquido da camisa. A quantidade de calor trocada por convecção será:

q = U A T t - T C t

Onde A é a área de troca térmica entre os dois compartimentos e U é o coeficiente de troca térmica global por convecção.

Entretanto, o enunciado diz que o valor de U varia de acordo com a quantidade de fluido na camisa da seguinte forma:

U = K f C 0,8 ( t )

Logo:

q = K f C 0,8 ( t ) A T t - T C t

Colocando tudo no balanço

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = f 0 ρ c p T 0 t - f ρ c p T t - K f C 0,8 ( t ) A T t - T C t

Temos um termo referente à corrente de entrada, outro referente à corrente de saída e um terceiro referete à troca térmica proporcionada pela camisa.

Porém, como o volume do tanque é constante, podemos assumir que:

f 0 = f

Sendo assim:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = f ρ c p [ T 0 t - T t ] - K f C 0,8 ( t ) A T t - T C t

O termo de acúmulo de energia pode ser escrito como:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = d U ( t ) d t = m c p d T ( t ) d t = ρ V c p d T ( t ) d t

Logo

ρ V c p d T ( t ) d t = f ρ c p [ T 0 t - T t ] - K f C 0,8 ( t ) A T t - T C t

Passo 2

Agora precisamos fazer o mesmo procedimento para a camisa:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a - { C o n s u m i d a }

O fluido da camisa também não faz nenhuma reação, portanto:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i

Para a camisa, a montagem do balanço vai ser análoga à do tanque, uma vez que ela também apresenta uma corrente de entrada, uma corrente de saída e troca térmica por convecção com o fluido que está dentro do tanque. Sendo assim:

ρ C V C c p C d T C ( t ) d t = f C t ρ C c p C T i t - T C t + K f C 0,8 ( t ) A T t - T C t

A única diferença é que o sinal da expressão referente à troca térmica por convecção é trocado, uma vez que um fluido recebe energia e o outro fornece.

Obs: repare que a resposta encontrada foi uma EDO não linear, já que temos uma função de tempo ( f C ( t ) ) elevada a 0,8 . Caso fosse necessário aplicar transformada de Laplace para encontrar a função de transferência do processo, precisaríamos linearizar esse termo, porém, como o exercício pede apenas o modelo matemático do sistema, as EDO’s encontrada são a resposta do exercício.

Resposta

ρ V c p d T ( t ) d t = f ρ c p [ T 0 t - T t ] - K f C 0,8 ( t ) A T t - T C t

ρ C V C c p C d T C ( t ) d t = f C t ρ C c p C T i t - T C t + K f C 0,8 ( t ) A T t - T C t