Exercícios Resolvidos de Modelos térmicos

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Enunciado

Um tanque completamente fechado e cheio de um fluido com capacidade calorífica c p , densidade ρ e volume V é aquecido por uma serpentina. Um fluido que passa pela serpentina tem temperatura T s ( t ) e vazão f . Considere que a área da serpentina é igual a A e que o coefiente global de troca térmica por convecação é proporcional à vazão do fluido da serpentina. O tanque pode ser considerado bem agitado e está completamente isolado, a densidade, volume e capacidade calorífica são constantes. Encontre a função de transferência T s T s s .

Passo 1

Seguinte, vamos começar com o clássico balanço de energia:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a - { C o n s u m i d a }

Nesse caso, a única fonte de energia que a gente tem é a energia proveniente da serpentina. Não temos nenhuma corrente de entrada nem de saída, nenhuma perda pro ambiente já que o tanque está bem agitado e também não temos nenhuma outra fonte de energia. Então, nosso balanço pode ser reduzido a:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a

Onde a energia que entra é a da serpentina. O tanque troca energia com a serpentina através da convecção entre o fluido do tanque e o fluido da serpentina segundo a seguinte fórmula:

q = U A [ T s ( t ) - T t ]

Onde A é a área da serpentina e U o coeficiente global de troca térmica por convecção.

O enunciado diz que U é proporcional à vazão do fluido da serpentina, logo:

U = k f

Onde k é a razão de proporcionalidade.

Logo a energia que “entra” no sistema é:

E n t r a = k f A [ T s ( t ) - T t ]

O acúmulo de energia no sistema pode ser escrito como:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = d U ( t ) d t = m c p d T ( t ) d t = ρ V c p d T ( t ) d t

Logo, o balanço de energia será:

ρ V c p d T ( t ) d t = k f A [ T s ( t ) - T t ]

Rearranjando:

d T ( t ) d t = k f A ρ V c p [ T s ( t ) - T t ]

d T ( t ) d t + k f A ρ V c p T t = k f A ρ V c p T s ( t )

Passo 2

O próximo passo agora é aplicar a transformada de Laplace na nossa EDO:

s T s + k f A ρ V c p T s = k f A ρ V c p T s s

Colocando T ( s ) em evidência:

s + k f A ρ V c p T s = k f A ρ V c p T s s

Logo, a função de trasnfência T s T c s será:

T s T s s = k f A ρ V c p s + k f A ρ V c p

Ou:

T s T s s = 1 ρ V c p k f A s + 1

Resposta

T s T s s = 1 k f A ρ V c p s + 1