Exercícios Resolvidos de Momentos em Três Dimensões

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Enunciado

A barra curva tem uma massa   ρ por unidade de comprimento. Determine o momento do peso da barra em relação ao ponto O .

Passo 1

Vamos aplicar o momento calculado de forma vetorial nesse problema.

Primeiro, vamos dividir a estrutura em duas barras: uma barra vertical de comprimento h e outra barra horizontal de comprimento d . A força peso de cada uma dessas barras será:

Onde, P → H é o peso da barra horizontal e P → V é o peso da barra vertical.

Perceba que o peso sempre aponta pra baixo, ou seja, na direção negativa de z .

Sendo assim, o peso da barra vertical não exerce momento com relação ao ponto O , já que a linha de ação do peso desta barra intercepta o ponto O .

Dessa forma, só a parte horizontal da barra exercerá momento. Essa parte tem o peso dado por:

P → = - ρ g d k ^

Passo 2

Agora vamos definir o vetor r → :

Pela figura, as componentes de r → são:

r → = x r , y r , z r = d 2 cos ⁡ 65 ° ; d 2 s e n   65 ° ; h

Passo 3

O momento será dado por:

M → = r → × F → = i ^ j ^ k ^   r 1 r 2 r 3 P 1 P 2 P 3 = i ^ j ^ k ^   d 2 c o s ⁡ ( 65 ° ) d 2 s e n ( 65 ° ) h 0 0 - ρ g d

Então:

M → = d 2 s e n ( 65 ° ) h 0 - ρ g d i ^ - d 2 c o s ( 65 ° ) h 0 - ρ g d j ^ + d 2 c o s ⁡ ( 65 ° ) d 2 s e n ( 65 ° ) 0 0 k ^

Repare que o último determinante, o que está acompanhado de k ^ , é nulo. Calculando os outros:

M → = - ρ d 2 2 g s e n   65 ° i ^ + ( ρ g d 2 2 cos ⁡ 65 ° ) j ^

Arrumando isso e substituindo o valor do cosseno e do seno de 65 ° :

M → = ρ g d 2 2 ( - s e n   65 ° i ^ + cos ⁡ 65 ° j ^ )

M → = ρ g d 2 2 - 0,906 i ^ + 0,422 j ^   N ⋅ m  

Resposta

M → = ρ g d 2 2 - 0,906 i ^ + 0,422 j ^   N ⋅ m

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