Exercícios Resolvidos de Movimento Espacial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 63, 2/178

Uma aeronave decola em A e se eleva em um ângulo constante com inclinação de 1 para 2 no plano vertical y z com uma velocidade constante v = 400   k m / h . A aeronave é rastreada por radar em O . Para a posição B , determine os valores de R ˙ , θ ˙ e ϕ ˙ .

Passo 1

Bom, vamos primeiro desenhar esse sistema mostrando as variáveis pertinentes:

β é o ângulo que o avião faz com a horizontal. Ele vale:

β = a r c t g 1 2 = 26,6 °

E ϕ :

ϕ = a r c t g 300 500 = 31,0 °

Usamos os dois triângulos da figura.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para acharmos v r , primeiro decompomos v usando s e n β (assim obtemos a velocidade vertical):

v v = v s e n β

Após isso, decompomos na direção de R :

v r = v v s e n ϕ = v v s e n β s e n ϕ

Ou seja:

v r = 300 s e n 26,6 ° s e n 31,0 ° = 92,0 k m / h

Assim:

R ˙ = v r = 92,0 k m / h

Pra achar v θ , temos duas formas: primeiro usando a fórmula v θ = R θ ˙ e segundo percebendo que a velocidade horizontal em β é a própria v θ .

Percebeu? É só ver que ela tem uma tendência a girar ao redor do eixo central. Sendo assim:

400 3,6 cos ⁡ 26,6 ° = 500 θ ˙

Onde 500   m é o raio de giração.

Opa! Sacou o motivo de eu ter dividido o 400 por 3,6 ? Para transformar pra m / s . Queremos achar θ ˙ , que é dada em r a d / s . Assim:

400 3,6 cos ⁡ 26,6 ° = 500 θ ˙       →       θ ˙ = 0,1988 r a d / s

Passo 3

Agora pra achar v ϕ vamos seguir o mesmo procedimento: A velocidade seguindo a direção do ângulo ϕ pode ser dada por:

v ϕ = R ϕ ϕ ˙

Ou, se você perceber, essa velocidade nada mais é que a componente vertical da velocidade em β .

Mas quem vai ser o R ϕ ? Ou seja, o raio de giração?

Vai ser a hipotenusa do triângulo maior da figura. Como 400 m é o cateto adjacente, teremos:

400 = R ϕ cos ⁡ 31,0 ° → R ϕ = 400 cos ⁡ 31,0 °

400 3,6 s e n 26,6 ° = 400 cos ⁡ 31,0 ° ϕ ˙

ϕ ˙ = 0,0731   r a d / s

Resposta

R ˙ = 92,0   k m / h

θ ˙ = 0,1988   r a d / s

ϕ ˙ = 0,0731   r a d / s

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